Una riduzione polinomiale da qualsiasi problema NP-completo a PCP limitato

I libri di testo in tutto il mondo per scontato che il Bounded corrispondenza postale problema è NP-completo (non più di $N$ indici ammessi con ripetizioni). Tuttavia, da nessuna parte viene mostrato un semplice (come in, qualcosa che uno studente può capire) riduzione del tempo polinomiale da un altro problema NP-completo.

Tuttavia, ogni riduzione che mi viene in mente è esponenziale (di o della dimensione della serie) in fase di esecuzione. Forse si può dimostrare che è riducibile a SAT?$N$

Come spesso accade per le riduzioni di NP, ha senso cercare problemi simili . In particolare, è difficile codificare condizioni globali tali che "hanno visto alcuni nodi" in PCP (con polinomialmente molti riquadri) che controindicano i problemi dei grafici, i problemi di impacchettamento ci richiederebbero di codificare numeri unari in PCP (creando istanze esponenzialmente grandi), e presto. Pertanto, ci si può aspettare che un problema di stringa con solo restrizioni locali funzioni meglio.

Considera la versione decisionale del problema di supersequenza comune più breve :

Dato due stringhe con | a | = n e | b | = m e k ∈ N , decidi se esiste una stringa c ∈ Σ + con | c | ≤ k tale che un e b sono sottosequenze di c .$a,b \in \Sigma^+$$|a|=n$$|b|=m$$k \in \mathbb{N}$$c \in \Sigma^+$$|c| \leq k$$a$$b$$c$

L'idea è quella di lasciare supersequences PCP compilazione di e B da sinistra a destra, la codifica in sovrapposizioni delle piastrelle in quale posizione ci troviamo in un e b , rispettivamente. Userà una tessera per simbolo in c , quindi k corrisponde al limite del BPCP: se possiamo risolvere questo PCP con tessere ≤ k , puoi leggere la supersequenza comune di uguale lunghezza e viceversa.$a$$b$$a$$b$$c$$k$$\leq k$

La costruzione delle piastrelle è un po 'noiosa, ma abbastanza chiara. Nota che non creeremo tessere che non inoltrano o b ; tali non possono mai far parte di una supersequenza comune più breve , quindi sono superflui. Possono essere facilmente aggiunti senza rompere le proprietà della riduzione.$a$$b$

I numeri nelle sovrapposizioni sono codificati in binario, ma usando simboli al di fuori di e riempiendoli con un log di lunghezza comune max ( m , n ) . Pertanto assicuriamo che le tessere vengano utilizzate come suggerito dalla grafica (tetris), ovvero i caratteri e le sovrapposizioni di codifica dell'indice non si mescolano (PCP non lo impedisce di per sé). Abbiamo bisogno:$\Sigma$$\log \max(m,n)$

• Piastrelle di inizio: può iniziare con un 1 , b 1 o entrambi se sono uguali.$c$$a_1$$b_1$
• Tessere intermedie: può procedere con il simbolo successivo in a , in b o entrambi se sono uguali.$c$$a$$b$
• Tessere che terminano : termina con l'ultimo simbolo di a (se è già stato visto l'ultimo di b ), simile per b , o con l'ultimo simbolo di entrambi.$c$$a$$b$$b$

Questi sono gli schemi delle piastrelle. Nota che le tessere intermedie devono essere istanziate per tutte le coppie . Come accennato in precedenza, creare le piastrelle senza * solo se i rispettivi personaggi in un e b partita.$(i,j) \in [n]\times [m]$$*$$a$$b$

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I sono simbolici per "non importa"; nelle tessere effettive, l'altro simbolo dovrà essere copiato lì. Si noti che il numero di tessere è in Θ ( m n ) e ogni tessera ha lunghezza 4 log max ( m , n ) + 1 , quindi l'istanza BPCP costruita (sopra l'alfabeto Σ ∪ { 0 , 1 $*$$\Theta(mn)$$4\log \max(m,n) + 1$$\Sigma \cup \{0,1\}$più simboli di separazione) ha dimensione polinomiale. Inoltre, la costruzione di ogni piastrella è chiaramente possibile in tempi polinomiali. Pertanto, la riduzione proposta è effettivamente una trasformazione polinomiale valida che riduce al BPCP il problema di supersequenza comune più breve completo di NP.

Penso che tu possa provare che BPCP è NP completo usando una riduzione simile a quella usata per dimostrare la sua indecidibilità. Dimostreremo direttamente che BPCP è NP completo mostrando come ridurre qualsiasi problema in NP ad esso in tempo polinomiale.

La riduzione standard utilizzata per dimostrare che il PCP è indecidibile ( delineato qui ) funziona costruendo una serie di tessere in modo tale che esista una soluzione PCP se esiste un calcolo accettabile di un dato TM su una stringa w . Il numero di tessere create in questa riduzione è polinomialmente elevato - in particolare, il numero di domino costruiti è una funzione della dimensione dell'alfabeto del nastro e del numero di stati nella TM. L'unico domino le cui dimensioni possono essere grandi è il domino iniziale, che ha $M$$w$$w$scritto su di esso. Se generalizziamo questa riduzione dal lavorare su TM deterministiche a lavorare su TM non deterministiche, allora questo introduce al massimo un numero costante di domino, poiché il numero di transizioni è finito. Di conseguenza, possiamo costruire l'insieme standard di domino per la normale riduzione dell'indecidibilità nel tempo polinomiale.

Detto questo, possiamo ridurre qualsiasi problema NP a BPCP come segue - dato qualsiasi problema NP, ha un NTM in tempo polinomiale che gira nel tempo p ( n ) . Possiamo quindi ridurre questo problema a BPCP in tempo polinomiale come segue: costruire il set standard di domino da M , quindi chiedere se esiste una soluzione che utilizza f ( p ( n ) ) domino, dove f è una funzione polinomiale che esprime il numero di domino necessari per l'esistenza della soluzione (questo è probabilmente qualcosa come n $M$$p(n)$$M$$f(p(n))$$f$$n^2$e non è certamente esponenziale). Quindi, usando la stessa prova che usi per dimostrare che PCP è indecidibile, puoi provare che esiste una soluzione a questa istanza BPCP che utilizza al massimo i riquadri se la NTM M originale accetta m entro p ( n ) passi. Di conseguenza, abbiamo una riduzione del tempo polinomiale da ogni problema in NP a BPCP, quindi BPCP è NP-difficile.$f(p(n))$$M$$m$$p(n)$

(Dovremmo anche mostrare che BPCP è in NP, ma è facile; basta indovinare non deterministicamente quali domino mettere in ordine, quindi verificarlo in modo deterministico).

Spero che sia di aiuto!