Simulazione universale delle macchine di Turing

Sia $f$ una funzione fissa costruibile nel tempo.

Il classico risultato di simulazione universale per TM (Hennie e Stearns, 1966) afferma che esiste una TM a due nastri tale che$U$

• la descrizione di una TM e$\langle M \rangle$
• una stringa di input ,$x$

corre per passi e restituisce la risposta di su . E può essere considerato qualsiasi funzione in .$g(|x|)$$M$$x$$g$$\omega(f(n)\lg f(n))$

Le mie domande sono:

1. Qual è il risultato di simulazione più noto su un singolo nastro TM? Anche il risultato sopra è ancora valido?

2. C'è qualche miglioramento su [HS66]? È possibile simulare le TM su una TM a due nastri per i passaggi in modo più rapido? Possiamo prendere g ( n ) per essere in ω ( f ( n ) ) al posto di ω ( f ( n ) lg f ( n ) ) ?$f(n)$$g(n)$$\omega(f(n))$$\omega(f(n)\lg f(n))$

Qual è il risultato di simulazione più noto su un singolo nastro TM? Anche il risultato sopra è ancora valido?

Possiamo simulare una TM a più nastri su una TM a nastro singolo con aumento quadratico del tempo. Il tempo di simulazione è . L'aumento quadratico è necessario poiché esistono lingue (ad es. Palindromi) che richiedono tempo Ω ( n 2 ) su un DTM a nastro singolo ma possono essere risolti nel tempo O ( n ) su un DTM a due nastri.$O(n^2)$$\Omega(n^2)$$O(n)$

In breve, il risultato sopra riportato non funziona quando il simulatore è una TM a nastro singolo.

Per la simulazione di TM a nastro singolo su una TM a nastro singolo (con alfabeto finito arbitrario), il risultato vale, vale a dire che la simulazione può essere eseguita con un aumento del fattore nel tempo. Vedi (2) e (3). Il riferimento sembra essere (6).$\lg$

C'è qualche miglioramento su [HS66]? È possibile simulare le TM su una TM a due nastri per i passaggi in modo più rapido? Possiamo prendere g ( n ) per essere in ω ( f ( n ) ) al posto di ω ( f ( n ) lg f ( n ) ) ?$f(n)$$g(n)$$\omega(f(n))$$\omega(f(n)\lg f(n))$

Sembra che non ci sia stato alcun miglioramento poiché ciò implicherebbe un teorema della gerarchia temporale migliore di quello attualmente noto.

Correzione: i soliti teoremi della gerarchia si basano su classi di complessità temporale definite usando TM a nastro singolo. Per -tape TM un risultato stretto simile al teorema della gerarchia spaziale è dimostrato da Furer nel 1982 (5). Il fattore lg non è necessario. Vedi anche (4).$n$$\lg$

Riferimenti:

1. Peter van Emde Boas, "Modelli di macchine e simulazione", nel Manuale di informatica teorica, 1990
   (in particolare, pagg. 18-21)

2. Michael Sipser, "Introduzione alla teoria della computazione", 2006
   (le classi di complessità temporale sono definite usando TM con infinito a nastro singolo in entrambe le direzioni e alfabeto arbitrario finito, vedere pagine 140 e 341)

3. Odifreddi, "Teoria della ricorsione classica", vol. I & II, 1989 e 1999
   (le definizioni sono simili a Sipser, vedi Def. I.4.1 in vol. I pagina 48, Def. VII.4.1 in vol. II pagina 67 e Thm. VII.4.15 in vol. II pagina 83)

4. Piergiorgio Odifreddi, "Teoria della ricorsione classica", vol. II, 1999
   (pagina 84)

5. Martin Fürer, " La stretta gerarchia temporale deterministica ", 1982

6. Juris Hartmanis, " Complessità computazionale dei calcoli della macchina di Turing a nastro singolo ", 1968

7. FC Hennie e RE Stearns, " Simulazione a due nastri di macchine multitape Turing ", 1966

8. Altre domande correlate:

   1. Limiti inferiori e separazione delle classi ,
   2. Giustificazione di nel teorema della gerarchia DTIME$\lg f$ ,
   3. Alfabeto della macchina di Turing a nastro singolo ,
   4. Per il teorema della gerarchia temporale, come viene tradotto in modo efficiente l'input? ,
   5. un commento di Luca Trevisan.