Esistono classi di complessità stabilite con numeri reali?

Di recente uno studente mi ha chiesto di verificare una prova di durezza NP. Hanno eseguito una riduzione sulla falsariga di:

Riduco questo problema che è noto per essere NP completo al mio problema P (con una riduzione multi-tempo polifunzionale), quindi P è NP-difficile.$P'$$P$$P$

La mia risposta è stata sostanzialmente:

Poiché ha istanze con valori da R , non è banalmente calcolabile con Turing, quindi puoi saltare la riduzione.$P$$\mathbb{R}$

Sebbene formalmente vero, non penso che questo approccio sia perspicace: vorremmo sicuramente essere in grado di catturare la "complessità intrinseca" di un problema decisionale (o di ottimizzazione) di valore reale, ignorando i limiti che affrontiamo nel trattare con il reale numeri; indagare su questi problemi è per un altro giorno.

Naturalmente, non è sempre facile come dire "la versione discreta del Somma del sottoinsieme è NP-completa, quindi anche la versione continua è 'NP-difficile'". In questo caso, la riduzione è semplice ma ci sono casi famosi in cui la versione continua è più semplice, ad esempio la programmazione lineare o intera.

Mi è venuto in mente che il modello RAM si estende naturalmente ai numeri reali; lasciare che ogni registro memorizzi un numero reale ed estendere le operazioni di base di conseguenza. Il modello di costo uniforme ha ancora senso - tanto quanto nel caso discreto - mentre quello logaritmico no.

Quindi, la mia domanda si riduce a: ci sono nozioni stabilite di complessità di problemi con valore reale? Come si collegano alle classi discrete "standard"?

^{Le ricerche di Google producono alcuni risultati, ad esempio questo , ma non ho modo di dire cosa è stabilito e / o utile e cosa no.}

Sì. Ci sono.

C'è il modello RAM reale / BSS menzionato nell'altra risposta. Il modello presenta alcuni problemi e AFAIK non ha molte attività di ricerca al riguardo. Probabilmente, non è un modello realistico di calcolo .

La nozione più attiva di calcolabilità reale è quella del modello di calcolo di tipo superiore. L'idea di base è che si definisce la complessità per le funzioni di tipo più elevato e quindi si utilizzano le funzioni di tipo più elevato per rappresentare numeri reali.

Lo studio della complessità delle funzioni di tipo superiore risale almeno a [1]. Per lavori recenti, consultare i documenti di Akitoshi Kawamura sulla complessità degli operatori reali.

Il riferimento classico per la complessità delle funzioni reali è il libro di Ker-I Ko [2]. Il sesto capitolo del libro più recente di Klause Weihrauch [3] discute anche della complessità della comptazione reale (ma è più focalizzata sulla computabilità che su una complessità).

• [1] Stephen Cook e Bruce Kapron, "Caratterizzazioni dei funzionali realizzabili di base di tipo finito", 1990.

• [2] Ker-I Ko, "Complessità computazionale delle funzioni reali", 1991.

• [3] "Analisi calcolabile" di Klaus Weihrauch, 2000.

Il modello che descrivi è noto come il modello Blum-Shub-Smale (BSS) (anche modello Real RAM) e infatti utilizzato per definire le classi di complessità.

Alcuni problemi interessanti in questo ambito sono le classi , N P R , e, naturalmente, la questione se P R = N P R . Con P R intendiamo che il problema è polinomicamente decidibile, N P R è il problema polinomialmente verificabile. Ci sono domande di durezza / completezza sulla classe N P R . Un esempio di un problema completo di N P R è il problema di Q P S , sistema polinomiale quadratico, in cui l'input è polinomi reali in$P_R$$NP_R$$P_R$$NP_R$$P_R$$NP_R$$NP_R$$NP_R$$QPS$ variabili e p 1$m$ ⊆ R [ x 1 , . . . , x n ] di grado al massimo 2, e ogni polinomio ha al massimo 3 variabili. La questione se esiste una comune soluzione reale R n , tale che p 1 ( uno ) , p 2 ( a ) , . . . p n ( a ) = $p_1, ..., p_n$ $\subseteq$ $R[x_1, ..., x_n]$$R^n$$p_1(a), p_2(a), ... p_n(a) = 0$. Questo è un problema completo $NP_R$

Ma più interessante c'è stato qualche lavoro sulla relazione tra (Probalistically Checkable Proofs), sui Reals, cioè la classe P C P R , e su come si relaziona con i modelli di calcolo algebrico. Il modello BSS esegue la panoramica su tutti gli N P rispetto ai reali. Questo è standard nella letteratura e ciò che sappiamo oggi è che N P R ha "prove lunghe trasparenti" e "prove brevi trasparenti". Per "prove lunghe trasparenti" è implicito quanto segue: N P R è contenuto in P C P R ( p o l $PCP$$PCP_R$$NP$$NP_R$$NP_R$ . C'è anche un'estensione che dice che anche la "Versione breve quasi (approssimata)" è vera. Possiamo stabilizzare la prova e rilevare i guasti controllando un numero considerevolmente inferiore di componenti (reali) di n ? Ciò porta a domande sull'esistenza di zeri per (sistema di) polinomi univariati forniti dal programma in linea retta. Inoltre, per "prove lunghe trasparenti" intendiamo$PCP_R(poly, O(1))$$n$

1. "trasparente" - Solo, da leggere,$O(1)$

2. long: numero superpolinomiale di componenti reali.

La dimostrazione è legata a e sicuramente un modo per esaminare i problemi valutati reali è come potrebbe essere correlato alla somma dei sottoinsiemi - anche gli algoritmi di approssimazione per i problemi valutati reali sarebbero interessanti -come ottimizzazione - Programmazione lineare che conosciamo è nella classe F P , ma sì sarebbe interessante vedere come l'approssimabilità potrebbe influire sulla completezza / durezza nel caso di problemi di N P R. Inoltre, un'altra domanda sarebbe la N P R = c o - N P R ? $3SAT$$FP$$NP_R$$NP_R$ $=$ $co\text{-}NP_R$

Mentre si pensa alla classe , ci sono anche classi di conteggio definite per consentire il ragionamento sull'aritmetica polinomiale. Mentre # P è la classe di funzioni f definita su { 0 , 1 } ∞ → N per cui esiste una macchina di Turing M polinomiale M e un polinomio p con la proprietà che ∀ n ∈ N e x ∈ { 0 , 1 } n , f ( x $NP_R$$\#P$$f$$\{0,1\}^\infty$ $\rightarrow$ $\mathbb{N}$$M$$p$$\forall n$$\in$$\mathbb{N}$$x$$\in$$\{0,1\}^{n}$$f(x)$conta il numero di stringhe { 0 , 1 } p ( n ) che Turing Machine M accetta { x , y } . Per davvero estendiamo questa idea ci sono macchine BSS additive - macchine BSS che fanno solo addizioni e moltiplicazioni (nessuna divisione, nessuna sottrazione). Con le macchine BSS additive (i nodi nel calcolo consentono solo l'addizione e la moltiplicazione) il modello per # P diventa uno in cui il conteggio supera i vettori accettati dalle macchine BSS additive. Quindi, la classe di conteggio è # P a d $y \in$$\{0,1\}^{p(n)}$$M$$\{x,y\}$$\# P$$\#P_{add}$ questa classe è utile nello studio dei numeri di Betti e anche della caratteristica di Eulero.