Problema 3SUM (k-SUM) generalizzato?

Il problema 3SUM tenta di identificare 3 numeri interi da un set di dimensioni tale che .S n a + b + c = $a,b,c$$S$$n$$a + b + c = 0$

Si ipotizza che non esiste una soluzione migliore di quadratica, ovvero . O per dirla diversamente: .o ( n log ( n ) + n 2$\mathcal{o}(n^2)$$\mathcal{o}(n \log(n) + n^2)$

Quindi mi chiedevo se questo si sarebbe applicato al problema generalizzato: trova numeri interi per in un set di dimensione tale che . i ∈ [ 1 .. k ] S n ∑ i ∈ [ 1 .. k ] a i = $a_i$$i \in [1..k]$$S$$n$$\sum_{i \in [1..k]} a_i = 0$

Penso che puoi farlo in per (è banale generalizzare l' algoritmo semplice ). Ma ci sono algoritmi migliori per altri valori di ?k ≥ 2 k = 3 $\mathcal{o}(n \log(n) + n^{k-1})$$k \geq 2$$k=3$
$k$

$k$ -SUM può essere risolto più rapidamente come segue.

• Per :$k$ calcola un elenco ordinato di tutte le somme di elementi di input. Controlla se contiene sia un certo numero che la sua negazione . L'algoritmo viene eseguito nel tempo .$S$$k/2$$S$$x$$-x$$O(n^{k/2}\log n)$

• Per dispari :$k$ calcola l'elenco ordinato di tutte le somme di elementi di input. Per ogni elemento di input , controlla se contiene sia che , per un certo numero . (Il secondo passo è essenzialmente l' algoritmo -time per 3SUM.) L'algoritmo viene eseguito nel tempo .$S$$(k-1)/2$$a$$S$$x$$-a-x$$x$$O(n^2)$$O(n^{(k+1)/2})$

Entrambi gli algoritmi sono ottimali (tranne forse per il fattore log quando è pari e maggiore di ) per qualsiasi costante in una certa limitazione debole ma naturale del modello di calcolo lineare dell'albero decisionale. Per maggiori dettagli, vedi:$k$$2$$k$

• Nir Ailon e Bernard Chazelle. Limiti inferiori per i test di degenerazione lineare . JACM 2005.

• Jeff Erickson. Limiti inferiori per problemi di soddisfabilità lineari . CJTCS 1999.

n Ω ( d ) 2 o ( n $d$ -SUM richiede il tempo meno che k-SAT possa essere risolto in tempo per qualsiasi costante k. Questo è stato mostrato in un articolo di Mihai Patrascu e Ryan Williams (1).$n^{\Omega(d)}$$2^{o(n)}$

In altre parole, assumendo l' ipotesi del tempo esponenziale , il tuo algoritmo è ottimale fino a un fattore costante dell'esponente (un fattore polinomiale in )$n$

(1) Mihai Patrascu e Ryan Williams. Sulla possibilità di algoritmi SAT più veloci. Proc. 21 ° Simposio ACM / SIAM sugli algoritmi discreti (SODA2010)

Ecco alcune semplici osservazioni.

Per , puoi farlo in time scansionando l'array per uno zero. Per , puoi farlo senza hashing in time. Ordinare l'array e quindi scansionarlo. Per ogni elemento faccio una ricerca binaria per . Ciò si traduce in una complessità totale di . Nel caso puoi farlo in tempo accumulando l'array e controllando il risultato.Θ ( n ) k = 2 Θ ( n registro n ) i - i Θ ( n registro n ) k = n Θ ( n $k=1$$\Theta(n)$$k=2$$\Theta(n \log n)$$i$$-i$$\Theta(n \log n)$$k=n$$\Theta(n)$

Per ulteriori riferimenti, vedere la pagina Progetto Problemi aperti per 3SUM .

Vedi http://arxiv.org/abs/1407.4640

Un nuovo algoritmo per risolvere il problema rSUM Valerii Sopin

Astratto:

Viene presentato un algoritmo determinato per risolvere il problema rSUM per qualsiasi r naturale con una valutazione sub-quadratica della complessità temporale in alcuni casi. In termini di quantità di memoria utilizzata, l'algoritmo ottenuto ha anche un ordine sub-quadratico. L'idea dell'algoritmo ottenuto non si basa sui numeri interi, ma piuttosto k∈N bit successivi di questi numeri nel sistema di numerazione binario. Viene mostrato che se una somma di numeri interi è uguale a zero, allora la somma dei numeri presentati da qualsiasi k bit successivo di questi numeri deve essere sufficientemente "vicina" a zero. Questo rende possibile scartare i numeri, che a maggior ragione non stabiliscono la soluzione.

È qualcosa di nuovo in questo numero.