Tipi di riduzioni e definizioni associate di durezza

Sia A riducibile a B, vale a dire, $A \leq B$ . Quindi, la macchina di Turing accettando $A$ ha accesso ad un oracolo di $B$ . Lasciare che la macchina di Turing accettando $A$ essere $M_{A}$ e l'oracolo di $B$ sia $O_{B}$ . I tipi di riduzioni:

• Riduzione Turing: $M_{A}$ può rendere più query a $O_{B}$ .

• Riduzione del karp: detta anche "riduzione del turing del tempo polinomiale": l'input di $O_{B}$ deve essere costruito in polytime. Inoltre, il numero di query a $O_{B}$ deve essere limitato da un polinomio. In questo caso: $P^{A} = P^{B}$ .

• Riduzione di Turing multipla: $M_{A}$ può inviare una sola query a $O_{B}$ , durante l'ultimo passaggio. Quindi la risposta dell'oracolo non può essere modificata. Tuttavia, il tempo impiegato per costruire l'input su $O_{B}$ non deve essere limitato da un polinomio. Equivalentemente: ( $\leq_{m}$ indica la riduzione multipla)

  se ∃ una funzione calcolabile f : Σ ∗ → Σ ∗ tale che f ( x ) ∈ $A \leq_{m} B$$\exists$$f: \Sigma^{\ast} \to \Sigma^{\ast}$ .$f(x) \in B \iff x\in A$

• Riduzione di Cook: detta anche "riduzione multipla di tempo polinomiale": una riduzione multipla in cui il tempo impiegato per costruire un input in deve essere limitato da un polinomio. Equivalentemente: ( ≤ p m che indica la riduzione multipla)$O_{B}$$\leq^{p}_{m}$

  se ∃ unafunzione calcolabilepoli-tempo f : Σ ∗ → Σ ∗ tale che f ( x ) ∈ $A \leq^p_{m} B$$\exists$$f: \Sigma^{\ast} \to \Sigma^{\ast}$ .$f(x) \in B \iff x\in A$

• Riduzione parsimoniosa: Chiamato anche "tempo polinomiale uno-uno riduzione": riduzione Un Cuoco in cui ogni istanza di mappato a un'istanza unica di B . Equivalentemente: ( ≤ p 1 che indica una riduzione parsimoniosa)$A$$B$$\leq^{p}_{1}$

  se ∃ unabiiezionecalcolabilepoli-tempo f : Σ ∗ → Σ ∗ tale che f ( x ) ∈ $A \leq^p_{1} B$$\exists$$f: \Sigma^{\ast} \to \Sigma^{\ast}$ .$f(x) \in B \iff x\in A$

  Queste riduzioni preservano il numero di soluzioni. Quindi .$\#M_{A} = \#O_{B}$

Possiamo definire più tipi di riduzioni limitando il numero di query oracolari, ma tralasciando quelle, qualcuno potrebbe gentilmente dirmi se ho ottenuto la nomenclatura per i diversi tipi di riduzioni utilizzate, correttamente. Sono definiti problemi NP completi rispetto alla riduzione Cook o alla riduzione parsimoniosa? Qualcuno può gentilmente dare un esempio di un problema NP completo sotto Cook e non sotto riduzione parsimoniosa.

Se non sbaglio, la classe # P-Complete è definita rispetto alle riduzioni di Karp.

La tua definizione di riduzioni parsimoniose non è corretta. Lo stai confondendo con riduzioni one-one polinomiali che sono un caso speciale di riduzioni di Karp. Non preservano il numero di "soluzioni". Si prega di consultare questa risposta per ulteriori informazioni sulle riduzioni considerando il numero di certificati.

Il resto sembra a posto anche se di solito è meglio visualizzarli in un grafico bidimensionale:

• la complessità della riduzione: tempo calcolabile, polinomiale, spazio logaritmico, ecc.
• tipo di accesso: Turing, molti-uno, uno-uno, ecc.

Sono definiti problemi NP completi rispetto alla riduzione Cook o alla riduzione parsimoniosa?

durezza e completezza sono definiti WRT riduzioni Karp (polytime molti-uno), non Cook né riduzioni parsimoniosi.$\mathsf{NP}$

Qualcuno può gentilmente dare un esempio di un problema NP completo sotto Cook e non sotto riduzione parsimoniosa.

Prendi il complemento di SAT, è completo per sotto le riduzioni di Cook, non si ritiene che sia completo per N P sotto le riduzioni di Karp. Le riduzioni del karp includono riduzioni one-one polifunzionali.$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

la classe # P-Complete è definita rispetto alle riduzioni di Karp

Notare che $\mathsf{\#P}$ non è una classe di problemi di decisione, è una classe di problemi di calcolo delle funzioni. La sua durezza e completezza sono generalmente definite con riduzioni Cook (polytime Turing). Vedi ad esempio Arora e Barak, pagina 346.

La definizione di riduzione del Karp non è corretta. Una riduzione di Karp è una riduzione di Turing in tempo polinomiale in cui l'oracolo$O_B$ viene chiamato esattamente una volta, durante l'ultimo passaggio di riduzione.