Complessità temporale di un ciclo triplo nidificato

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Si prega di considerare il seguente ciclo triplo nidificato:

for (int i = 1; i <= n; ++i)
    for (int j = i; j <= n; ++j)
        for (int k = j; k <= n; ++k)
            // statement

L'istruzione qui viene eseguita esattamente volte. Qualcuno potrebbe spiegare come è stata ottenuta questa formula? Grazie. $n(n+1)(n+2)\over6$

algorithms time-complexity algorithm-analysis

— Xin
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La domanda ora la complessità formula di cicli annidati potrebbe anche essere di interesse.

— Juho,

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È possibile contare il numero di volte in cui il ciclo più interno viene eseguito contando il numero di terzine per le quali viene eseguito. $(i,j,k)$

Dalle condizioni del circuito sappiamo che: . Possiamo ridurlo al seguente semplice problema combinatorio. $1 \leq i \leq j \leq k \leq n$

Immagina scatole di colore rosso posizionate in una matrice da sinistra a destra. $n+2$
Scegli 3 caselle dalle caselle e dipingile di blu. $n+2$
Formare una tripletta come segue:
- = 1 + numero di caselle colorate rosse a sinistra della prima casella blu. $i$
- = 1 + numero di caselle colorate rosse a sinistra della seconda casella blu. $j$
- = 1 + numero di caselle colorate rosse a sinistra della terza casella blu. $k$

Quindi, dobbiamo solo contare il numero di modi per scegliere 3 scatole da scatole che è $n+2$ . $n+2 \choose 3$

— rizwanhudda
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Bella risposta! I valori esatti di i, j, k non sono importanti. Dobbiamo solo sapere che qualsiasi casella blu può essere posizionata in n possibili posizioni e che le loro posizioni sono limitate: la seconda arriva sempre dopo la prima e prima della terza.

— Dávid Natingga,

+ 2

$+2$

n + 2

$n+2$

n + 3

$n+3$

1

n + 3

$n+3$

n + 2

$n+2$

i \geq 1

$i \geq 1$

3

$n-i$

$(n-i)+(n-i-1)+(n-i-2)+\ldots+1$

$\sum_{j=0}^{n-i} n-i-j$ $n$

\sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{n - i} n - i - j = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{6}

$\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{n-i} n-i-j=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

— andy mcevoy
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Una sfida per te: immagina di avere un ciclo nidificato. Secondo la risposta precedente avrebbe eseguito (n + x-1) scegliere x volte. Come calcoleresti la tua formula?

— Dávid Natingga,

per fortuna l'OP non ha richiesto x-nested! In che modo l'altra risposta fornita si espande in un ciclo nidificato? La mia risposta dovrebbe ottenere solo più somme che vanno da 0 a n, da 0 a n-i_1, da 0 a n-i_2, ..., da 0 a n-i_x. Ma non saprei come calcolarlo.

— Andy Mcevoy,

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La risposta non si espande esplicitamente per una x generale, ma il processo di ragionamento presentato è facile da seguire per i cicli nidificati. Aggiungi solo più caselle blu. Né so come avrei calcolato quelle somme in più.

— Dávid Natingga,