Condizioni necessarie e sufficienti per un unico spanning tree minimo

Questo è un problema di esercizio (Ex.3) dell'eccellente nota di Jeff Erickson Lecture 20: Minimum Spanning Trees [Fa'13] .

Dimostra che un grafico ponderato ai bordi $G$ ha un albero di spanning minimo univoco se e solo se valgono le seguenti condizioni

Per qualsiasi partizione dei vertici di $G$ in due sottoinsiemi, il bordo di peso minimo con un punto finale in ciascun sottoinsieme è unico.

Il bordo di massimo peso in ogni ciclo di $G$ è unico.

Considera il " $\Rightarrow$ "direzione e il seguente grafico $G$ .

mst

$G$ ha un MST unico. Tuttavia, per la partizione $\{A\}$ e $\{B,C\}$ , il bordo di attraversamento di peso minimo non è unico.

Ho frainteso alcuni punti? O se ci sono difetti nel teorema, come possiamo risolverlo?

graph-theory spanning-trees

— Hengxin
fonte

Sì, questo sembra essere un errore. Prova a capire quale versione dell'esercizio è corretta. Ad esempio, sembra che la seconda condizione sia effettivamente necessaria.

— Yuval Filmus,

A meno che non fraintenda, neanche la seconda condizione è necessaria. Considera il grafico {(A, B, 1), (A, C, 1), (A, D, 1), (B, D, 10), (D, C, 10)}. Ha anche un albero di spanning minimo composto da bordi collegati ad A. Ma c'è un ciclo con 2 bordi di peso massimo (e neanche la prima condizione è soddisfatta). CC @YuvalFilmus

— Babou

@jeffe, che ne pensi? ;)

— Luke Mathieson,

Penso che il secondo dovrebbe essere in "in qualsiasi ciclo senza accordi " (quindi un ciclo minimo nel senso che non include quelli più piccoli come sottografi indotti). La prima condizione sembra significativamente sbagliata. Ad esempio prendi

G

$G$ essere qualsiasi albero in cui siano presenti tutti i pesi dei bordi

1

$1$ , poi

G

$G$ ha un MST unico (se stesso), ma qualsiasi partizione con più di un bordo che attraversa ha diversi bordi di peso minimo.

— Luke Mathieson,

Oops! Sì, questo è un bug. (Nota per sé: cambia ogni istanza di "Dimostrare" in "Dimostrare o confutare".)

— JeffE

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Oops! Sì, questo è un bug. (Nota per sé: cambia ogni istanza di "Prova" in "Prova o confuta".) - JeffE

— Hengxin
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