Quali sarebbero le implicazioni del mondo reale di una prova costruttiva ?

Ho una comprensione di alto livello del problema e capisco che se fosse assolutamente "dimostrato" di essere vero con una soluzione fornita, aprirebbe le porte alla soluzione di numerosi problemi nell'ambito dell'informatica.$P=NP$

La mia domanda è, se qualcuno pubblicasse una prova indiscutibile e costruttiva di , quali sono alcuni degli effetti immediati che vedremmo di tale scoperta? $P=NP$

Non sto chiedendo opinioni supposte su come sarebbe il mondo tra 5-10 anni. Invece, ho capito che questo è un problema fondamentalmente irrisolvibile che potrebbe cambiare radicalmente il modo in cui calcoliamo ... molte cose (sì, è qui che la mia ignoranza mostra ...) che non possiamo calcolare facilmente oggi .

Che tipo di effetto quasi immediato avrebbe una prova completa, accurata e costruttiva di sul mondo pratico?$P=NP$

Le persone hanno dato buone risposte supponendo che con una costante davvero grande. Giocherò l'ottimista e presumo che troviamo una prova di con una costante tracciabilmente piccola. Forse non è probabile, ma cercherò di dare un'idea di quali cose potrebbero accadere se potessimo risolvere efficacemente tutti i problemi .P = N P N $P=NP$$P=NP$$NP$

• Compilatori: alcuni programmi per computer potrebbero essere leggermente più veloci, poiché i compilatori utilizzano la colorazione dei grafici per l'allocazione dei registri. Saremo in grado di allocare esattamente per un gran numero di registri. I compilatori esistenti che utilizzano una soluzione approssimativa (come i grafici cordali) otterrebbero un output migliore e quelli che utilizzano una soluzione esatta sarebbero più veloci.

• Posizione della struttura: le aziende sarebbero in grado di trovare il posto ottimale per posizionare le fabbriche e fornire depositi da spedire ai loro negozi, quando ci sono forse migliaia di negozi e fabbriche. Probabilmente non sarebbe un enorme miglioramento rispetto alle approssimazioni moderne, ma ridurrebbe i costi.

• Acquistare biglietti aerei: i biglietti aerei sono strani poiché non seguono l'uguaglianza dei triangoli. A volte è più economico volare da A -> B -> C che direttamente da A -> C, qualcosa che non emerge quando si modella la distanza. Sarebbe facile creare un sito Web che trovi la sequenza di voli più economica in assoluto che visita un certo numero di città e inizia e finisce nella tua città.

• Progettazione del circuito: i circuiti elettrici su un chip sono sostanzialmente formule booleane. Cose come la minimizzazione potrebbero essere calcolate in modo efficiente, quindi il nostro hardware diventerebbe un po 'più efficiente.

• Pianificazione: pazzo che la tua scuola abbia messo due dei tuoi esami nello stesso momento? Se tua scuola è in grado di calcolare il numero di intervalli di tempo di cui hanno bisogno, in modo che nessuno studente abbia un conflitto, o dato un numero di intervalli di tempo, minimizza il numero di conflitti.$P=NP$

Questo è solo un esempio di applicazioni pratiche che vedremmo se la non fosse una barriera. Sono sicuro che ne ho mancati molti, ma se la costruzione data avesse una buona costante, le implicazioni sarebbero di vasta portata.$NP$

Non vedremo necessariamente alcun effetto. Supponiamo che qualcuno trovi un algoritmo che risolve 3SAT su variabili in operazioni di base. Non sarai in grado di eseguire questo algoritmo in nessuna istanza, poiché impiega troppo tempo. Oppure supponiamo che trovi un algoritmo in esecuzione in operazioni di base. Potremo usarlo solo su istanze 3SAT su una singola variabile, poiché per più variabili ci vuole troppo tempo.2 100 n n $n$$2^{100} n$$n^{100}$

D'altra parte, supponiamo che P NP, e che valga anche l'ipotesi del tempo esponenziale più forte. Quindi, in generale, 3SAT dovrebbe essere irrintracciabile. Eppure i solutori di SAT sembrano fare bene alcuni problemi.$\neq$

Cosa sta succedendo qui? Esistono diversi problemi con la domanda P vs. NP:

1. Riguarda solo il caso peggiore.
2. È solo asintotico.
3. Tutti i limiti temporali polinomiali sono uguali.

Questi problemi mettono in dubbio la sua rilevanza per il mondo reale. Ora potrebbe accadere che venga trovato un algoritmo molto veloce per 3SAT, così veloce che persino la crittografia simmetrica diventerebbe fragile. Ma lo ritengo altamente improbabile. D'altra parte, è perfettamente coerente che P sia diverso da NP mentre il factoring è pratico; ciò spezzerebbe alcuni schemi di crittografia a chiave pubblica. Questa è una situazione probabile che avrebbe ripercussioni, ma non è correlata alla domanda P vs. NP.

La domanda P vs. NP potrebbe essere naturale da un punto di vista matematico, ma a mio avviso la sua rilevanza pratica è dubbia. La ricerca sulla questione, d'altra parte, potrebbe o meno avere ripercussioni pratiche; non è guidato da questo aspetto.

Una lettura molto piacevole qui è [1], in cui Impagliazzo considera cinque possibili "mondi" in cui le relazioni tra le classi di complessità sono diverse. Ad esempio, in un mondo chiamato Algorithmica (vedere la Sezione 2.1), abbiamo che (o qualche altro "equivalente morale" vale, come ).N P ⊆ B P $\sf P = NP$$\sf NP \subseteq BPP$

In Algorithmica, praticamente qualsiasi problema di ottimizzazione sarebbe banale. I linguaggi di programmazione potrebbero essere linguaggi in cui una specie dovrebbe avere le proprietà che un output desiderato dovrebbe avere in relazione all'input, invece di specificare come eseguire il calcolo. I computer potrebbero anche trovare prove per qualsiasi teorema nel tempo circa la lunghezza della prova. (Questo punto di vista è ovviamente molto ottimista e dipende da un algoritmo efficiente per alcuni completi).$\sf NP$

[1] Russell Impagliazzo. Una visione personale della complessità dei casi medi. Conferenza sulla complessità, 1995.

Anche senza P = NP, i computer di oggi sono incredibilmente potenti.

• 12873891274647018937561708356916501047777612653914909670721635802187 può essere considerato da un singolo computer in meno di un secondo.
• Per compiti più difficili come la sintesi del layout elettrico di un chip da una descrizione di livello superiore delle sue funzioni o la correzione di fotomaschere per compensare gli artefatti del processo di fabbricazione, i cluster di molte centinaia di computer lavorano un giorno intero per consentire l'impossibile.
• I computer di oggi sono in grado di dimostrare teoremi matematici che nessun essere umano è stato in grado di dimostrare, come che le algebre di Robins sono booleane o che una certa costante che si presume sia illimitata ( Erdős Discrepancy Problem ) è maggiore di 2.
• I programmi statici di analisi del codice sorgente sono in grado di identificare vulnerabilità come il bug Heartbleed .
• Strumenti di ragionamento automatico come prover9 o the-E- theorema -prover sono in grado di dimostrare la maggior parte delle caratterizzazioni algebriche comuni di semigruppi inversi e anelli fortemente regolari senza alcun aiuto esplicito.

Modifica 22 gennaio 2018 Ho scoperto ora come avrei dovuto "interpretare" il testo citato nell'esempio seguente. Era colpa mia, l'elemento inverso doveva essere unico . Ecco il mio file di input del 22 dicembre 2014 ( addinvrig.in ) e qui è il file di input fisso di oggi ( addinvrigFixed.in ). La linea cruciale è che (x+(-x))+((-y)+y)=((-y)+y)+(x+(-x)).il potere degli stessi strumenti di ragionamento automatico è ancora affascinante per me, anche se non possono salvarmi dall'interpretazione errata degli scritti di altre persone.

L'uso di strumenti di ragionamento automatico è sorprendentemente utile per me, quando mi imbatto in teoremi citati in cui non sono sicuro di come "interpretare" il testo :

Nel 1974, Karvellas [3] studiò il seme inverso additivo e dimostrò quanto segue:
(Karvellas (1974), Teorema 3 (ii) e Teorema 7) Prendi qualsiasi seme inverso additivo (S, +, ·).
(i) Per tutti , e (ii) Se per tutti quindi è commutativo in modo additivo.( x ⋅ y ) ′ = x ′ ⋅ y = x ⋅ y ′ x $x, y \in S$$(x \cdot y)' = x' \cdot y = x \cdot y'$$x' \cdot y' = x \cdot y$
$a \in aS \cap Sa$$a \in S$$S$

Ho adattato i miei file di input prover9 per questo teorema e mi è stato immediatamente mostrato un contro-esempio per il teorema come citato. Una leggera modifica delle ipotesi ha prodotto molti teoremi reali simili, il che rende molto probabile che Karvellas abbia effettivamente affermato e dimostrato un teorema corretto, che è stato citato solo erroneamente qui. Cercare su Google per il riferimento di questo teorema ha solo rivelato un altro documento che citava Karvellas ancora meno accurato .

Questa è una raccolta incredibilmente incompleta di risultati assistiti da computer per problemi specifici che sono inattendibili in generale se P! = NP. Forse questa raccolta chiarisce almeno ad alcuni lettori che tutti tendiamo a sottovalutare i poteri dei computer in questo dominio. Molte altre risposte a questa domanda sembrano suggerire che non ci sarebbero grandi conseguenze se i computer migliorassero (leggermente) la risoluzione dei problemi intrattabili. Ma i computer migliorano continuamente nel risolvere i problemi intrattabili (perché un bel po 'di tempo e denaro vengono spesi per far sì che ciò accada), e questo ha conseguenze molto reali. Se P = NP fosse dimostrato, allora forse la consapevolezza di ciò che i computer possono effettivamente fare (anche oggi) aumenterebbe e più persone userebbero i computer per aiutarli in tali compiti. (PS: sono convinto che P! = NP,

Ci sono molte opinioni sulle implicazioni del mondo reale di P = NP. Come visto in altre buone risposte, ci sono principalmente 2 scuole di pensiero. Uno è che un algoritmo P-time potrebbe essere molto difficile o impossibile da implementare effettivamente a causa di "anomalie impreviste" associate all'astrazione. per esempio:

• il programma potrebbe essere troppo "grande" per codificare effettivamente
• potrebbe esserci una costante molto grande coinvolta in modo tale che per tutte le istanze alla portata del "calcolo terrestre", esse sono ancora di lunga durata, vale a dire che l'efficienza non "avvia", tranne che per le istanze molto grandi. è noto che alcuni algoritmi si adattano effettivamente a questo caso, come recentemente sottolineato da Knuth (domanda 15)

In generale sto cercando una maggiore attenzione agli algoritmi che funzionano velocemente rispetto ai problemi la cui dimensione, n, è fattibile. La maggior parte della letteratura di oggi è dedicata ad algoritmi asintoticamente grandi, ma utili solo quando n supera le dimensioni dell'universo.

Un famoso caso di studio è svolto da Impagliazzo, come citato da J. in un'altra risposta. Tuttavia, il suo saggio è stato estrapolato un po 'nel frattempo. Ecco un nuovo grande riferimento di un esperto che si occupa di questa domanda in una sorta di scenario di fantascienza futuro, ch2 / p11. riassuntivo

Il biglietto d'oro: P, NP e la ricerca dell'impossibile di Lance Fortnow

• "se si scopre che P = NP e abbiamo algoritmi efficienti per tutti i problemi NP, il mondo cambierà in modo da far sembrare Internet una nota a piè di pagina nella storia. Non solo sarebbe impossibile descrivere tutti questi cambiamenti, ma il le maggiori implicazioni delle nuove tecnologie sarebbero impossibili da prevedere ".

• Algoritmo rapidamente implementato sul supercomputer. Boeing si impegna immediatamente per ottenere un migliore design delle ali per un nuovo velivolo che gli consenta di volare da Londra a Sydney senza sosta.

• Algoritmo di ricerca utilizzato per trovare un nuovo algoritmo ancora più veloce, ottimizzando la soluzione P = NP originale. Termina con il risultato di 42 milioni di righe di codice incomprensibile. Chiamato "algoritmo Urbana"

• L'algoritmo era solito trovare trattamenti oncologici personalizzati / cure quasi adattate agli individui. cura il cancro, l'AIDS, il diabete ma il raffreddore comune rimane un mistero

• L'algoritmo di super-schedulazione consente ai meteorologi di "fare incredibili progressi nella previsione del tempo, consentendo previsioni accurate di temperatura, venti, copertura nuvolosa e precipitazioni con un anticipo di quasi un anno. Algoritmi simili ora salvano la vita predicendo accuratamente tempeste, tornado, uragani in modo che le persone possano preparare o evacuare secondo necessità ".

• Riconoscimento facciale estremamente accurato

• Il computer può ricostruire i modelli 3d di una scena in tempo reale da diverse angolazioni della telecamera

• Gli algoritmi informatici controllano le operazioni della telecamera per eventi sportivi (anziché controllati dall'uomo)

• Commenti e replay automatici sono generati dall'algoritmo inclusi angoli e statistiche ben scelti e generati in qualsiasi lingua in tempo reale

• Il baseball / sport Fantasy assume una nuova dimensione con simulazioni estremamente accurate

• I gusti delle ricette alimentari sono migliorati dall'algoritmo

• L'algoritmo potrebbe essere usato per "imparare qualsiasi cosa, incluso ciò che rende la buona arte, la musica popolare e le parole che suscitano l'anima. Ricorda che P = NP significa che ciò che possiamo testare, possiamo trovare. Quindi una volta che hai un algoritmo processo per riconoscere grandezza, è possibile utilizzare nuovamente l'algoritmo per trovare rapidamente quella grandezza. "

• Il politico usa un algoritmo informatico per riconoscere grandi discorsi e generarne uno che si adatta agli schemi. Il discorso diventa virale su Internet.

• Le persone generano opere d'arte complete da arte incompleta / incompiuta, ad esempio sinfonie. usano l'algoritmo per generare nuovi record Beatles / Elvis. Nuova arte, romanzi, opere teatrali e poesie, ad esempio commedia romantica con Humphrey Bogart / Julia Roberts.

• Amazon può creare romanzi personalizzati per gli individui su richiesta. NBC crea serie televisive di avventura dal vivo create interamente al computer

• Realtà virtuale simulata nei videogiochi che consente qualsiasi azione dei giocatori anziché un set fisso di possibili trame.

• Le forze dell'ordine usano l'algoritmo come "strumento incredibile per risolvere i crimini, facendo apparentemente l'impossibile nel rintracciare i sospetti". l'algoritmo del computer può ricostruire le facce probabili (per schizzi compositi) usando solo il DNA. La polizia abbina un sospettato di omicidio usando un'enorme ricerca nel database di foto di patenti di guida allineato al disegno generato (dal DNA).

Sfortunatamente non molto che Fortnow delinea sopra è supportato dalla vera letteratura scientifica, tranne forse un'estrapolazione immaginativa dei mondi Impagliazzos. ci vorrebbe molto di più per sezionare questo punto per punto, ma per riassumere, tutto sembra essere divertente ma fantastico / pio desiderio (o forse questo è il suo punto velato). In realtà ci sono principi scientifici che sono in conflitto con molti degli articoli. E notate che Fortnow è un appassionato di sport, quindi sviluppa una metafora estesa in quella zona, ma potrebbe essere più un'indicazione del modo in cui gli umani pensano nelle scanalature ?

Ad esempio, è noto che "effetto farfalla" implica che un'accurata previsione del tempo oltre un (diciamo) orizzonte di diversi giorni è impossibile a causa della "dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali" (e Fortnow ha successivamente ammesso sul suo blog ripetute critiche su esattamente questo punto). Inoltre, ci sono molte prove che i computer falliscono in compiti altamente umani-soggettivi come la generazione o l'identificazione di arte influente (un compito a cui persino gli esperti non riescono in modo coerente).

In realtà l'intera questione è quasi controfattuale o falsa . Si noti che una grande maggioranza di esperti scienziati intervistati pensa / crede, nonostante la mancanza di prove incontrovertibili finora, P ≠ NP. ed è naturale confrontarlo con altre leggi / restrizioni / limitazioni note come la termodinamica (ad es. impossibilità di moto perpetuo / energia libera ) e statistiche, ad es. "nessun teorema del pranzo libero" .

Quindi la linea di fondo è che forse nemmeno gli scienziati esperti non possono prevedere esattamente il risultato di P = NP. Quindi forse la risposta migliore per ora è ammettere che gli umani non hanno una buona risposta in questo momento.

P vs. NP, tecnicamente vs. moralmente

Come diceva Yuval, è possibile che P = NP sia tecnicamente vero ma moralmente falso. P = NP è moralmente vero (anche se non necessariamente tecnicamente) se esiste un algoritmo deterministico veloce (diciamo , o forse anche con piccole costanti, niente di simile ) che risolve uno dei famosi problemi NP completi come SAT. IIRC, Russell Impagliazzo una volta disse che avrebbe considerato il problema P vs. NP sostanzialmente risolto se qualcuno mostrasse che SAT può essere risolto in tempo .$O(n^2)$$O(n^{\lg^* n})$$2^{65536}+2^{1024}n^{256}$$O(n^{\lg n})$

Quindi cosa succede se P = NP è moralmente vero?

Questo ci riporta al motivo per cui NP è una classe di problemi così interessante. L'intuizione in generale è che spesso vogliamo trovare oggetti di dimensioni ragionevoli (formalizzati come dimensione polinomiale) che contengano una proprietà e la proprietà sia facile da verificare (formalizzata come calcolabile in tempo polinomiale). Questa classe di problemi comprende quasi tutti i problemi a cui siamo interessati. Per andare oltre devi pensare alle interazioni tra giocatori come i giochi. Il numero di problemi naturali interessanti che non si trovano in NP (o PH ) è molto piccolo rispetto ai problemi NP naturali interessanti . Se P = NP è moralmente$Q$$Q$vero, allora tutti questi problemi possono essere risolti molto velocemente. Solo per fare un esempio, puoi imparare i pesi migliori per modelli di apprendimento automatico molto complicati. È possibile rompere i protocolli di crittografia.

Confronto con il caso in cui P NP è moralmente vero$\neq$

Con P NP è moralmente vero, intendo che non possiamo risolvere il SAT (o uno qualsiasi degli altri famosi problemi NP-completi) molto più velocemente della forza bruta, quindi questi problemi non possono essere risolti in pratica per input generali anche di dimensioni di input piuttosto piccole di dire 100.$\neq$

P NP è moralmente vero significa che non possiamo risolvere in pratica i problemi NP-hard?$\neq$

Anche se P NP è moralmente vero, è ancora possibile che per alcuni di questi problemi non siamo interessati a input generali e nel caso peggiore, ma a una classe / distribuzione di input che può essere risolta in modo efficiente. Ad esempio può succedere che la risoluzione di SAT nel caso valga la pena esponenziale, ma in pratica possiamo già risolvere SAT su molte classi interessanti come la verifica del software, la verifica dell'hardware, ecc. Molto più velocemente.$\neq$

Questo è in qualche modo simile alla risoluzione di un problema più semplice, ad esempio il TSP non può nemmeno essere approssimato in modo efficace se P NP è moralmente vero, tuttavia possiamo già approssimare il caso speciale di TSP sui grafici euclidei.$\neq$

Se sai di voler risolvere un problema NP completo non su input generali ma su input con proprietà particolari, non devi preoccuparti del problema generale. Hai solo bisogno di risolvere il problema più semplice. Sfortunatamente spesso non è facile determinare quale tipo di input ti interessa in pratica.

Tuttavia l'euristica può funzionare sorprendentemente bene nella pratica, come vediamo con la programmazione SAT o Integer o Machine Learning. (L' apprendimento PAC utilizzando il modello molto semplice di 3-DNF è intrattabile se NP RP , e molti esperti pensano che RP = P).$\neq$

Che tipo di effetto quasi immediato avrebbe una prova completa e accurata di P = NP, con una soluzione fornita, sul mondo pratico?

Probabilmente ci sarebbero un sacco di grandi cose che ne verrebbero fuori, ma a nessuno importa.

Il problema è che il fondamento di (quasi) tutta la crittografia moderna si basa sul presupposto che P non sia uguale a NP. La crittografia che protegge la tua password mentre passa su Internet e come viene salvata nei database. La crittografia che protegge i dati della carta di credito mentre passa su Internet ... La crittografia che protegge i miliardi di transazioni finanziarie quotidiane che legano la nostra economia globale al gigantesco organismo che è.

Nel migliore dei casi, P = NP significa che si ferma. Le persone tornano a utilizzare i contanti e le banche provano a registrare questi prelievi di contanti su un supporto disconnesso poiché le transazioni verso un ufficio centrale non sono più affidabili. Questo può durare forse alcuni mesi fino a quando una migliore crittografia viene implementata a livello globale. Caso migliore.

Nel peggiore dei casi, P = NP significa che qualcuno rompe il mondo. La valuta si basa sul concetto di fiducia. Apprezzi un dollaro, perché credi che il tuo vicino ti darà un valore in dollari di beni o servizi per questo. Apprezzi il tuo computer dicendo che hai 500 dollari in banca, perché puoi scorrere la tua carta e ottenere 500 dollari di beni e servizi ...

E se non potessi fidarti di questo? Se P = NP, qualcuno potrebbe impersonare varie banche, governo, persone - e randomizzare efficacemente la quantità di valuta in ogni conto. Elimina la valuta in ogni account. Certo, varie banche hanno i backup per renderlo conto, ma da quanto tempo la loro crittografia è stata interrotta? Quali transazioni erano buone e quali erano rappresentate? È impossibile saperlo.

Una volta che quella fiducia si è rotta, ne consegue il caos. Qualsiasi vantaggio derivante dalla capacità di affrontare il problema del commesso viaggiatore (ad esempio) viene ignorato quando le persone fanno fatica a nutrirsi.

La realtà è probabilmente a metà strada, ma spero che questo dipinga un'immagine abbastanza grande di quanto sia importante un problema.

Si verificherà un massiccio calo delle spese di apparecchiature, elettricità e approcci al cloud. Molte cose sono state calcolate con la forza bruta in questo momento, o approssimazioni che usano ancora qualche forza bruta pesante. Non eseguiremo più tutti quei calcoli di forza bruta paralizzati massicci.

Questo non è affatto l'unico uso del cloud computing, ma sarà comunque un fattore evidente sull'uso di energia, sull'elaborazione del cloud, ecc. Solo il risparmio energetico potrebbe essere evidente sulla nostra impronta di carbonio.

Anche l'IA migliorerà molto. Potremmo finalmente avere un computer che può essere il miglior giocatore GO e il tuo calcolatore grafico ti batterà a scacchi.

Non mi aspetto una rivoluzione. Abbiamo imparato a vivere in un mondo in cui P NP e abbiamo trovato soluzioni alternative dove erano fondamentali (come le soluzioni approssimative).$\ne$

E la congettura che viene smentita non significa che tutti i problemi di utilità pratica sarebbero risolti in un schiocco di dita. In primo luogo, possono ancora essere più difficili di NP.