Perso in un concerto "unidirezionale"

Tu e un amico ci siete persi a vicenda sulla linea per un concerto, e nessuno dei due è sicuro di chi di voi sia più avanti. Formalmente, ognuno ha una coordinata intera e può solo camminare verso una coordinata più alta o rimanere in posizione.

Supponendo che tu e il tuo amico seguiate esattamente lo stesso algoritmo (e no, non potreste dire "se (nome ==" R B ") fate qualcosa :)), e la distanza iniziale tra voi due era (che non è a te noto). $x$

Qual è l'algoritmo che minimizza la distanza percorsa fino a quando tu e il tuo amico vi incontrate?

Puoi presumere che sia il tuo amico che te stesso si stiano muovendo alla stessa velocità costante.

Un semplice algoritmo di esempio sarebbe qualcosa del tipo:

Allo stadio (a partire da ): $n$ $0$

Cammina passi verso destra wp $3^n$ $\frac{1}{2}$ o attendere $3^n$ unità di tempo in caso contrario.

Per vedere questo algoritmo fa incontrare gli amici con probabilità 1, considera cosa succede in fase $(\log_3 x+1)$ . Anche se l'amico che era $x$ passo avanti camminava sempre e l'altro rimaneva sempre in posizione, la distanza tra i due sarebbe:

X + 1 + 3 + 9 + ... + 3^{\log_{3} X} = 2 X + \frac{X - 1}{2} \leq 3 X

$x+1+3+9+\ldots+3^{\log_3 x}=2x+\frac{x-1}{2}\leq 3x$

Pertanto, al $\log_3 x+1$ iterazione, l'amico che sceglie di camminare coprirà la distanza di $3^{\log_3 x+1}=3x$ , quindi con probabilità $\frac{1}{4}$ , l'amico che sta dietro raggiungerà e si incontreranno.

Un semplice ottimizzazione (per ridurre piedi) sarebbe, invece di camminare $3^x$ gradini, piedi $c^x$ gradini, dove $c$ è dato da:

2 + \frac{1}{c - 1} = c

$2+\frac{1}{c-1}=c$

Quindi la ottimale per questo algoritmo è $c$ $c=\frac{3+\sqrt 5}{2}\approx 2.618$

Sfortunatamente, mentre questo algoritmo garantisce che gli amici incontreranno la probabilità 1, la distanza percorsa prevista è infinita, cosa che vorrei evitare, se possibile.

Esiste un algoritmo più efficiente?

algorithms randomized-algorithms

— RB
fonte

Quando dici "distanza percorsa a piedi", intendi nel peggiore dei casi, dove l'algoritmo è probabilistico, o supponi anche una certa distribuzione sugli input? Inoltre, hai bisogno che il tuo algoritmo sia sempre corretto o che sia wp 1 corretto? (o meno?) - nota che l'algoritmo che presenti qui potrebbe non arrestarsi mai (ma wp 0)

— Shaull

Questo è simile al problema della ricerca lineare ( en.wikipedia.org/wiki/Linear_search_problem ).

— Yuval Filmus,

@Shaull - poiché entrambi gli amici stanno seguendo lo stesso algoritmo, deve essere probabilistico o non si incontreranno mai. L'aspettativa è oltre la randomizzazione dell'algoritmo.

— RB

Nel tuo algoritmo intendi camminare

unità di tempo a destra con velocità costante

? Camminare

passi potrebbe non parlare 2 ^ n volta.

2^{n}

$2^n$

C

$C$

2^{n}

$2^n$

— 吖奇说 ARCHY SHUō

@ 0a-archy: supponiamo che entrambi si muovano alla stessa velocità (lascia che sia di 1

per questa materia). L'idea dell'algoritmo che ho dato è che passi

passi o aspetti un tempo equivalente, quindi ogni iterazione inizia contemporaneamente per entrambi i giocatori.

\frac{step}{time unit}

$\frac{\text{step}}{\text{time unit}}$

2^{n}

$2^n$

— RB

Al passaggio , disegna un numero casuale uniformemente tra , e $k$ $q$ $1$ $2$ $3$ .

se , cammina , aspetta , cammina $q = 1$ $2^{k-1}$ $2^{k+1}$ $2^{k-1}$

se , aspetta , cammina , aspetta , cammina , aspetta $q = 2$ $2^{k-1}$ $2^{k-1}$ $2^{k}$ $2^{k-1}$ $2^{k-1}$

se , attendi , cammina , attendi $q = 3$ $2^k$ $2^k$ $2^k$

Ad ogni passaggio , entrambi gli amici eseguiranno passaggi. Se , non si incontreranno durante quel passaggio, tuttavia se , si incontreranno se e solo se non disegnano lo stesso numero. La probabilità che ciò non accada è solo $k$ $2^k$ $k < \log_2(x) + 1$ $k >= \log_2(x) + 1$ ad ogni passo. $1/3$

Quindi la distanza percorsa a piedi è (limitata da):

2 (\sum_{k = 0}^{⌈ \log_{2} (x) ⌉} 2^{k} + 3^{⌈ \log_{2} (x) ⌉} \sum_{k = ⌈ \log_{2} (x) ⌉ + 1}^{\infty} {(\frac{2}{3})}^{k})

$2\left(\sum_{k=0}^{\lceil\log_2(x)\rceil}2^k+3^{\lceil\log_2(x)\rceil}\sum_{k=\lceil\log_2(x)\rceil+1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^k\right)$

Che è finito, ed equivale, se la mia matematica di tovaglioli deve essere attendibile, a . $2^{\lceil\log_2(x)\rceil+3}-2 \le 16x$

A proposito, se è la variabile casuale che rappresenta la distanza percorsa, abbiamo ancora , ovvero la distanza non è limitata e può finire per essere arbitrariamente alta. Fortunatamente questa probabilità svanisce abbastanza velocemente da garantire che la somma infinita sia una proprietà molto più forte e penso che non sia possibile trovare una soluzione che la soddisfi. $d$ $\forall D>0, \mathrm{P}(d>D) > 0$ $\sum_{D=0}^{\infty}\mathrm{P}(d=D)\cdot D = \mathbb{E}[d]$ converge. Avere un limite superiore finito per $d$

— David Durrleman
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