Algoritmo efficiente per calcolare il

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Il -esimo numero di Fibonacci può essere calcolata in tempo lineare utilizzando la seguente ricorrenza: $n$

def fib(n):
    i, j = 1, 1
    for k in {1...n-1}:
        i, j = j, i+j
    return i

Il -esimo numero di Fibonacci può anche essere calcolata come $n$ . Tuttavia, questo ha problemi con arrotondamento problemi anche per relativamente piccolo. Probabilmente ci sonomodi per aggirare questo,ma preferirei non farlo. $\left[\varphi^n / \sqrt{5}\right]$ $n$

Esiste un efficiente (logaritmica del valore di o migliore) algoritmo per calcolare il -esimo numero di Fibonacci che non si basa su aritmetica in virgola mobile? Supponiamo che le operazioni di numero intero ( , , , ) possano essere eseguite in tempo costante. $n$ $n$ $+$ $-$ $\times$ $/$

algorithms time-complexity recurrence-relation

— augurar
fonte

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Come suggerimento, l'articolo di Wikipedia sui numeri di Fibonacci ha molti metodi.

— Pseudonimo del

cf. stackoverflow.com/questions/14661633/… e collegamenti all'interno e all'esterno.

— Will Ness,

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È possibile utilizzare la potenza della matrice e l'identità Nel tuo modello di calcolo questo è un algoritmo se usi la quadratura ripetuta per implementare il potere.

{[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]}^{n} = [\begin{matrix} F_{n + 1} & F_{n} \\ F_{n} & F_{n - 1} \end{matrix}] .

$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}^n = \begin{bmatrix} F_{n+1} & F_n \\ F_n & F_{n-1} \end{bmatrix}.$

O (\log n)

$O(\log n)$

— Yuval Filmus
fonte

1

È un classico.

— Dfeuer,

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È inoltre possibile utilizzare questa identità per derivare le ricorrenze

e

.

F_{2 n - 1} = F_{n}^{2} + F_{n - 1}^{2}

$F_{2n-1} = F_n^2 + F_{n-1}^2$

F_{2 n} = F_{n}^{2} + 2 F_{n - 1} F_{n}

$F_{2n} = F_n^2 + 2F_{n-1}F_n$

— agosto

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Puoi leggere questo articolo matematico: un veloce algoritmo per calcolare grandi numeri di Fibonacci (Daisuke Takahashi): PDF .

Più semplice, ho implementato diversi algoritmi di Fibonacci in C ++ (senza e con GMP) e Python. Fonti complete su Bitbucket. Dalla pagina principale è inoltre possibile seguire i collegamenti a:

La documentazione online HTML C ++.
Un piccolo documento matematico: numeri di Fibonacci - diverse relazioni per implementare buoni algoritmi

Le formule più utili sono:

$F_{2n} = F^2_{n + 1} - F^2_{n - 1} = 2 F_n F_{n - 1} + F^2_n$
$F_{2n + 1} = F^2_{n + 1} + F^2_n$

Fai attenzione all'algoritmo. Non è necessario calcolare più volte lo stesso valore. Un semplice algoritmo ricorsivo (in Python):

def fibonacci_pair(n):
    """Return (F_{n-1}, F_n)"""
    if n != 0:
        f_k_1, f_k = fibonacci_pair(n//2)  # F_{k-1},F_k with k = n/2

        return ((f_k**2 + f_k_1**2,
                 ((f_k*f_k_1)*2) + f_k**2) if n & 1 == 0  # even
                else (((f_k*f_k_1)*2) + f_k**2,
                      (f_k + f_k_1)**2 + f_k**2))
    else:
        return (1, 0)

$O(\log n)$

— Olivier Pirson
fonte

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Benvenuti in Informatica . Potresti aggiungere ulteriori informazioni alla tua risposta? Al momento, non sono altro che due collegamenti, quindi la tua risposta diventerà insignificante se quei collegamenti muoiono o i server su cui si trovano non sono disponibili. I collegamenti a ulteriori informazioni vanno bene, ma i collegamenti qui sono le uniche informazioni. Inoltre, tieni presente che la domanda è decisamente sugli algoritmi, non sulle implementazioni C ++. Le implementazioni tendono a oscurare gli algoritmi dietro i dettagli specifici del linguaggio.

— David Richerby,

David, il primo collegamento è un collegamento a un articolo matematico. Il titolo Un algoritmo veloce [...] risponde alla domanda "Esiste un algoritmo efficiente (logaritmico nel valore n o migliore) [...]?" Il secondo link è un link alle mie varie implementazioni, in C ++ e Python, e un piccolo documento matematico con diverse formule.

— Olivier Pirson,

2

No, il titolo dell'articolo, che è quello che contiene la tua risposta, non risponde a nulla. Il testo dell'articolo, di cui la tua risposta non contiene quasi nessuno, sembra che probabilmente risponda alla domanda. Ma Stack Exchange è un sito di domande e risposte, non una farm di link. (E, no, non sto suggerendo di copiare e incollare l'articolo nella tua risposta. Ma è necessario un riepilogo.)

— David Richerby,

Se vuoi un riepilogo, scrivilo!

— Olivier Pirson,

0

$O(\log_2 n)$

Controlla il libro gratuito Matters Computational e il codice pari / gp.

— joro
fonte

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Meglio riassumere le idee invece di pubblicare solo i link.

— agosto