Cosa sappiamo di NP ∩ co-NP e della sua relazione con l'NPI?

Un TA è passato oggi per indagare su alcune cose su NP e co-NP. Siamo arrivati ​​a un punto in cui anche io ero sconcertato: che aspetto ha un diagramma di Venn di P, NPI, NP e co-NP assumendo P ≠ NP (l'altro caso è noioso)?

Sembra che ci siano quattro opzioni di base.

1. NP ∩ co-NP = P

   In particolare, co-NPI ∩ NPI = ∅

2. NP ∩ co-NP = P ∪ NPI

   In particolare, co-NPI = NPI?

3. NP ∩ co-NP ⊃ P ∪ NPI ∪ co-NPI

   Una domanda di follow-up in questo caso è come sono collegati NPC e co-NPC; c'è una sovrapposizione?

4. Qualcos'altro, che è in particolare alcuni problemi di NPI, sono in co-NP e altri no.

Sappiamo quale è giusto o almeno quale non può essere vero?

Le voci dello zoo di complessità per NPI e NP ∩ co-NP non ispirano molta speranza che qualcosa sia noto, ma non sono abbastanza fluente nella teoria della complessità da comprendere tutte le altre classi (e il loro impatto su questa domanda) che galleggiano lì intorno .

Il fatto che P ≠ NP non precluda la possibilità che NP = co-NP, nel qual caso NP ∩ co-NP = NP. Quindi, per favorire la discussione, supponiamo che NP ≠ co-NP. In quel caso, Corollary 9 in Un approccio uniforme di Schöning per ottenere insiemi diagonali in classi di complessità mostra che esiste un linguaggio in NP - co-NP che è NP-intermedio. Quindi NPI contiene rigorosamente (NP ∩ co-NP) - P (nota che ogni lingua in NP ∩ co-NP è in P ∪ NPI). Questa è la tua opzione (4).

In sintesi, assumendo P ≠ NP e NP ≠ co-NP, otteniamo questo:

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