Trovare un testimone può essere NP-difficile anche se sappiamo già che ce n'è uno?

Gli esempi comuni di problemi NP-difficili (cricca, 3-SAT, copertura dei vertici, ecc.) Sono del tipo in cui non sappiamo se la risposta è "sì" o "no" in anticipo.

Supponiamo di avere un problema in cui sappiamo che la risposta è sì, inoltre possiamo verificare un testimone in tempo polinomiale.

Possiamo quindi trovare sempre un testimone in tempo polinomiale? O questo "problema di ricerca" può essere NP-difficile?

TFNP è la classe di funzioni multivalore con valori che sono polinomialmente verificati e garantiti di esistere.

Esiste un problema in TFNP completo di FNP se e solo se NP = co-NP, vedere Teorema 2.1 in:

Nimrod Megiddo e Christos H. Papadimitriou. 1991. Su funzioni totali, teoremi di esistenza e complessità computazionale. Theor. Comput. Sci. 81, 2 (aprile 1991), 317-324. DOI: 10.1016 / 0304-3975 (91) 90200-L

e i riferimenti [6] e [11] all'interno. PDF disponibile qui .

No, non puoi sempre trovare una soluzione in tempo polinomiale, anche se sai che esiste una soluzione.

Secondo Khanna, Linial e Safra [1] (vedi il terzo paragrafo), già dal classico lavoro del 1972 di Karp risulta che la colorazione di un grafico a 3 colori con 3 colori è NP-difficile. (Il loro lavoro estende questo per mostrare che i grafici a 3 colori a 4 colori sono ancora NP-difficili).

Si noti che ciò non contraddice la risposta di Rahul Savani . Questo perché per tutte le relazioni binarie in FNP, dobbiamo essere in grado di verificare in tempo polinomiale se è nella relazione. Dato che decidere se un grafico a 3 colori con 3 colori è NP completo, è improbabile che il problema di trovare un 4 colori in un grafico a 3 colori sia in FNP poiché non è possibile verificare la validità dell'input in tempo polinomiale . Pertanto, non vi è alcuna contraddizione con il risultato Megiddo-Papadimitriou.$P$$P(x,y)$$x$

[1] Khanna, Sanjeev, Nathan Linial e Shmuel Safra. "Sulla durezza di approssimazione del numero cromatico." Teoria e sistemi informatici, 1993., Atti del 2 ° Simposio israeliano sul. IEEE, 1993.

Se una relazione NP è NP-difficile rispetto alle
riduzioni Turing del tempo polinomiale co-non deterministico di sola risposta , allora. Dimostrazione: se una relazione NP è NP-difficile rispetto alle riduzioni di Turing a tempo polinomiale co-non deterministico solo risposta sì , allora:$\: NP = coNP \;$

Lasciate che sia una relazione così dura, e lasciare che essere una riduzione di Turing sì-risposta-solo co-non deterministica polinomiale da a . Sia l'algoritmo coNP fornito da: Tentativo di analizzare il presunto anti- certificato in un certificato interno e risposte. Se ciò fallisce, quindi emettere SÌ, altrimenti tentare di eseguire sull'anti-certificato interno dando la stessa risposta fornita in precedenza per le query ripetute e l'utilizzo delle risposte da l'anti-certificato (esterno) per tutte le altre domande relative agli oracoli. $R$$M'$$SAT$$R$$\:$$M$
$\;$
$\;$$M'$
$\;$
$\;$$\:$Se renderebbe più distinto le query rispetto al numero di risposte o una qualsiasi delle sue query non sarebbero correlate da a la risposta della query o produrrebbe SÌ, la genererà SÌ, altrimenti produrrà NO. Poiché essere un oracolo per impone solo condizioni indipendenti sulle risposte dell'oracolo e è una riduzione solo sì-risposta, le coppie query-risposta prodotte da e un valido certificato anti-certificato possono sempre essere estese a un oracolo per , quindi risolve$M'$
$\;$$R$
$\;$$M'$$M$$M$
$R$
$M'$$M'$
$R$$M$$SAT\hspace{-0.02 in}$.
Pertanto. Poiché è -hard rispetto alle riduzioni deterministiche del tempo polinomiale,. Per simmetria,. Pertanto. Pertanto, se una relazione NP è NP-difficile rispetto alle riduzioni Turing del tempo polinomiale co-non deterministico solo risposta sì , allora. $\: SAT\in coNP \;$
$SAT$$NP$$\: NP\subseteq coNP \;$
$\: coNP \subseteq NP \;$$\;\;\;\;$$\: NP = coNP \;$



$\: NP = coNP \;$

Questo dipende leggermente dall'interpretazione precisa della tua domanda, ma penso che il tuo scenario possa essere descritto genericamente come un problema 'COMPUTE Y' dove sono stati dati alcuni algoritmi di tempo polinomiale universalmente fissi e polinomio , su input , una stringa , in modo che produca 1, e esiste sempre per tutte le possibili .$T$$p$$\langle x, 1^n \rangle$$y \in \{0,1\}^{p(n)}$$T(x,y,1^n)$$y$$x$

Una domanda potrebbe quindi essere se un algoritmo temporale polinomiale per "COMPUTE Y" implica$P = NP$

In questo caso, supponiamo che tu possa risolvere (diciamo) 3SAT in un tempo polinomiale con un numero costante di chiamate a un oracolo che risolve "COMPUTE Y", cioè un algoritmo dove iff è soddisfacente, altrimenti. Capovolgi il bit di output per ottenere , un algoritmo in cui iff è soddisfacente e se non è soddisfacente.$A$$A(\phi) = 1$$\phi$$A(\phi)=0$$\bar{A}$$\bar{A}(\phi) = 0$$\phi$$\bar{A}(\phi) = 1$$\phi$

Converti questo algoritmo (che usa un oracolo per 'COMPUTE Y') in un algoritmo non deterministico (che non usa oracoli) semplicemente sostituendo ogni chiamata di oracolo con un'ipotesi non deterministica di che puoi verificare con una chiamata a . Ora hai un algoritmo non deterministico che decide con successo istanze 3CNF insoddisfacenti, quindi yTNP=coN$\bar{A}$$y$$T$$NP = coNP$

A parte questo, se , ciò implica che tutti i completi (come -clique o 3SAT) presentano lievi variazioni il cui problema decisionale è semplice (sempre "sì") ma la cui versione di ricerca è -hard$NP = coNP$k N $NP$$k$$NP$