Prova del teorema di Karp-Lipton


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Sto cercando di comprendere la dimostrazione del teorema di Karp-Lipton, come affermato nel libro "Computational Complexity: A modern avvic" (2009).

In particolare, questo libro afferma quanto segue:

Teorema di Karp-Lipton

Se NP , quindi PH . Ppoly =Σ2p

Prova: con il Teorema 5.4, per mostrare PH , è sufficiente mostrare che e in particolare è sufficiente mostrare che contiene il -completo lingua SAT. Π p 2Σ p 2 Σ p 2 Π p 2 Π 2=Σ2pΠ2pΣ2pΣ2pΠ2pΠ2

Il teorema 5.4 afferma che

per ogni , se \ Sigma_i ^ p = \ Pi_i ^ p quindi PH = \ Sigma_i ^ p . Cioè, la gerarchia crolla al livello ith.Σ p i = Π p ii1Σip=ΠipΣip

Non riesco a capire come Π2pΣ2p implica Σ2p=Π2p .

Come domanda più generale: questo vale per ogni io , cioè ΠiopΣiop implica Σiop=Πiop per tutti io1 ?


Dopo un po ', se ricordo bene, arrivammo a una vaga spiegazione: "Se Π2pΣ2p , allora possiamo trasformare una formula con quantificatori ... in una con quantificatori ... , che possiamo usare per trasformare una formula da Σ3p della forma ...... in una delle forme ...... , che lo inserisce in Σ2p , che fa crollare la gerarchia. Non sono sicuro di aver compreso completamente questo argomento.
WardL

un altro suggerimento / idea, le affermazioni matematiche cambiano tra inclusione del sottoinsieme e uguaglianza (ammettere che questo è comune nella teoria della complessità). c'è un modo per attenersi / stdize / riformulare l'uno o l'altro? fyi Karp-Lipton thm / wikipedia
vzn

Risposte:


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Ricordiamo che iff ˉ LΠ p i . Supponiamo ora che e cheLΣiopL¯ΠiopΣiopΠiopLΠiop . Quindi e così ˉ LΠ p i per ipotesi, implicando che L Σ p i . In altre parole, Π p iΣ p i , e quindi Σ p i = Π p iL¯ΣiopL¯ΠiopLΣiopΠiopΣiopΣiop=Πiop.

Ecco perché iff ˉ LΠ p i . Per concretezza, prendiamo i = 3 . Per definizione, L Σ p 3 se per un predicato P-time T , x L | y | < | x | O ( 1 )| z | < | x | O ( 1 )LΣiopL¯Πiopio=3LΣ3pT Allo stesso modo ˉ LΠ p 3 se per alcuni predicati del tempo P S , x ˉ L| y | < | x | O ( 1 )| z | < | x | O

XL|y|<|X|O(1)|z|<|X|O(1)|w|<|X|O(1)T(X,y,z,w).
L¯Π3pS Tuttavia, queste due affermazioni sono equivalenti, come dimostra una semplice invocazione delle leggi di de Morgan, insieme al fatto che P è chiuso sotto complemento (prendereS=¬T).
XL¯|y|<|X|O(1)|z|<|X|O(1)|w|<|X|O(1)S(X,y,z,w).
S=¬T
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