Prova del teorema di Karp-Lipton

Sto cercando di comprendere la dimostrazione del teorema di Karp-Lipton, come affermato nel libro "Computational Complexity: A modern avvic" (2009).

In particolare, questo libro afferma quanto segue:

Teorema di Karp-Lipton

Se NP , quindi PH . $\subseteq$ $P_{\backslash poly}$ $= \Sigma^p_2$

Prova: con il Teorema 5.4, per mostrare PH , è sufficiente mostrare che e in particolare è sufficiente mostrare che contiene il -completo lingua SAT. $= \Sigma^p_2$ $\Pi^p_2\subseteq \Sigma^p_2$ $\Sigma^p_2$ $\Pi^p_2$ $\Pi_2$

Il teorema 5.4 afferma che

per ogni , se quindi PH = . Cioè, la gerarchia crolla al livello ith. $i \geq 1$ $\Sigma_i^p = \Pi_i^p$ $\Sigma_i^p$

Non riesco a capire come $\Pi^p_2\subseteq \Sigma^p_2$ implica $\Sigma_2^p = \Pi_2^p$ .

Come domanda più generale: questo vale per ogni $i$ , cioè $\Pi^p_i\subseteq \Sigma^p_i$ implica $\Sigma_i^p = \Pi_i^p$ per tutti $i \geq 1$ ?

complexity-theory complexity-classes

— WardL
fonte

Dopo un po ', se ricordo bene, arrivammo a una vaga spiegazione: "Se

Π_{2}^{p} \subseteq Σ_{2}^{p}

$\Pi_2^p \subseteq \Sigma_2^p$ , allora possiamo trasformare una formula con quantificatori

\forall . . . \exists

$\forall ... \exists$ in una con quantificatori

\exists . . . \forall

$\exists ... \forall$ , che possiamo usare per trasformare una formula da

Σ_{3}^{p}

$\Sigma_3^p$ della forma

\exists . . . \forall . . . \exists

$\exists ... \forall ... \exists$ in una delle forme

\exists . . . \exists . . . \forall

$\exists... \exists... \forall$ , che lo inserisce in

Σ_{2}^{p}

$\Sigma_2^p$ , che fa crollare la gerarchia. Non sono sicuro di aver compreso completamente questo argomento.

— WardL

un altro suggerimento / idea, le affermazioni matematiche cambiano tra inclusione del sottoinsieme e uguaglianza (ammettere che questo è comune nella teoria della complessità). c'è un modo per attenersi / stdize / riformulare l'uno o l'altro? fyi Karp-Lipton thm / wikipedia

— vzn

Ricordiamo che iff . Supponiamo ora che e che $L \in \Sigma_i^p$ $\bar{L} \in \Pi_i^p$ $\Sigma_i^p \subseteq \Pi_i^p$ $L \in \Pi_i^p$ . Quindi e così per ipotesi, implicando che . In altre parole, , e quindi $\bar{L} \in \Sigma_i^p$ $\bar{L} \in \Pi_i^p$ $L \in \Sigma_i^p$ $\Pi_i^p \subseteq \Sigma_i^p$ $\Sigma_i^p = \Pi_i^p$ .

Ecco perché iff . Per concretezza, prendiamo . Per definizione, se per un predicato P-time , $L \in \Sigma_i^p$ $\bar{L} \in \Pi_i^p$ $i = 3$ $L \in \Sigma_3^p$ $T$ Allo stesso modo se per alcuni predicati del tempo P ,

X \in L \Leftrightarrow \exists | y | < | X |^{O (1)} \forall | z | < | X |^{O (1)} \exists | w | < | X |^{O (1)} T (X, y, z, w) .

$x \in L \Leftrightarrow \exists |y| < |x|^{O(1)} \forall |z| < |x|^{O(1)} \exists |w| < |x|^{O(1)} T(x,y,z,w).$

\bar{L} \in Π_{3}^{p}

$\bar{L} \in \Pi_3^p$

S

$S$

Tuttavia, queste due affermazioni sono equivalenti, come dimostra una semplice invocazione delle leggi di de Morgan, insieme al fatto che P è chiuso sotto complemento (prendere

X \in \bar{L} \Leftrightarrow \forall | y | < | X |^{O (1)} \exists | z | < | X |^{O (1)} \forall | w | < | X |^{O (1)} S (X, y, z, w) .

$x \in \bar{L} \Leftrightarrow \forall |y| < |x|^{O(1)} \exists |z| < |x|^{O(1)} \forall |w| < |x|^{O(1)} S(x,y,z,w).$

S = \neg T

$S = \lnot T$

— Yuval Filmus
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