C'è un punto di vista della complessità del teorema di Galois?

Il teorema di Galois afferma effettivamente che non si possono esprimere le radici di un polinomio di grado> = 5 usando funzioni razionali di coefficienti e radicali - non si può leggere questo per dire che dato un polinomio non esiste un algoritmo deterministico per trovare le radici?
Consideriamo ora una domanda di decisione del modulo, "Dato un polinomio reale con radice $p$ e un numero k è la terza e la quarta radice più alta di $p$ almeno a una distanza di k?"

Un certificato di prova per questa domanda di decisione sarà solo l'insieme delle radici di questo polinomio e questo è un breve certificato e quindi sembra che $NP$ MA non è il teorema di Galois che dice che non esiste alcun algoritmo deterministico per trovare un certificato per questo domanda di decisione? (e questa proprietà se true esclude qualsiasi algoritmo per decidere la risposta a questa domanda)

Quindi in quale classe di complessità si trova questa domanda?

Tutte le domande NP complete che ho visto hanno sempre un banale algoritmo di tempo esponenziale disponibile per risolverle. Non so se ci si aspetta che questa sia una proprietà che dovrebbe essere sempre vera per tutte le domande NP-complete. Per questa domanda di decisione questo non sembra essere vero.

complexity-theory np-complete np polynomials

— user6818
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Le radici sono un certificato ma per me non è ovvio che siano un breve certificato (cioè che ci sia una costante

tale che, per ogni polinomio, puoi scrivere le sue radici in bit

, dove

è il numero di bit necessari per annotare il polinomio). Ma se esiste un algoritmo NP, esiste un banale algoritmo a tempo esponenziale: basta elencare tutti i potenziali certificati e vedere se qualcuno di loro funziona.

k

$k$

O (n^{k})

$O(n^k)$

n

$n$

— David Richerby,

Alcuni commenti: (1) Le radici di

avere valori assoluti al massimo

. (2) Le sequenze di sturm possono essere utilizzate per isolare le radici di un polinomio. (3) Possiamo verificare se ci sono due radici alla distanza esattamente

, e in tal caso quale, calcolando il GCD di

\sum_{i = 0}^{n} a_{i} x_{i}

$\sum_{i=0}^n a_i x_i$

max (1, \sum_{i = 0}^{n - 1} | a_{i} | / | a_{n} |)

$\max(1,\sum_{i=0}^{n-1} |a_i|/|a_n|)$

k

$k$

p (x)

$p(x)$

p (x + k)

$p(x+k)$

— Yuval Filmus,

@YuvalFilmus È possibile utilizzare una qualsiasi delle idee di cui sopra per decidere la domanda di decisione sopra indicata? Non è ovvio se questi possono essere usati per decidere questa domanda - in tempo polinomiale?

— user6818

"Il teorema di Galois afferma effettivamente che non si possono esprimere le radici di un polinomio di grado> = 5 usando funzioni razionali di coefficienti e radicali - non si può leggere questo per dire che dato un polinomio non esiste un algoritmo deterministico per trovare le radici? " No, poiché gli algoritmi del tempo polinomiale sono più potenti delle funzioni razionali. Ad esempio, possono dividere i casi, iterare, creare array e loop su di essi, ecc.

— sdcvvc,

@ user6818 Il teorema riguarda uno specifico modello di calcolo - funzioni razionali dei radicali. Se si modifica il modello, non si applica più. Ad esempio, secondo MathWorld mathworld.wolfram.com/QuinticEquation.html è possibile risolvere l'equazione di 5 ° grado usando le funzioni di Jacobi theta. Se stai bene con un algoritmo che restituisce la radice entro 0,01 (o qualsiasi dato

), il teorema di Galois non squalificherà più il metodo, poiché qualsiasi numero può essere approssimato da un razionale.

ϵ > 0

$\epsilon > 0$

— sdcvvc,

Risposte:

Interessante connessione, tuttavia la teoria di Galois afferma che non esiste un metodo (coerente) per trovare le radici del quintico usando i radicali , invece di dire che il problema ha una soluzione (ad esempio un percorso più lungo) che può richiedere un tempo super polinomiale. Quindi direi che è più legato all'indecidibilità piuttosto che alla complessità.

In particolare, nella teoria di Galois si costruiscono progressivamente estensioni di gruppo delle radici dell'equazione, in modo graduale (aggiungendo una radice alla volta). E tutti questi gruppi dovrebbero essere risolvibili, in un certo senso non dovrebbe esserci alcuna ambiguità nel processo di costruzione di queste estensioni in un altro ordine. C'è una domanda correlata su MO sulla complessità della costruzione del gruppo di Galois di un'equazione .

Un altro riferimento qui "TEORIA DEL GALOIS COMPUTAZIONALE: INVARIANTI E COMPUTAZIONI SU ", CLAUS FIEKER JURGEN KLUNERS $\mathbb{Q}$

Inoltre si possono sistematicamente rappresentare le radici di un'euqazione polinomiale usando i radicali (quando l'equazione è risolvibile usando i radicali) in base alla costruzione del gruppo o dei gruppi di Galois dell'equazione. Rif: "Rappresentazione radicale delle radici polinomiali", Hirokazu Anai Kazuhiro Yokoyama 2002

La complessità computazionale di determinare se un dato polinomio monico irriducibile sugli interi , è solubile dai radicali è in Ref "La risolvibilità dei radicali è in tempo polinomiale", S. Landau GL Miller 1984 $\mathbb{Z}$ $\mathbb{P}$

Un sondaggio sulle recenti "Tecniche per il calcolo dei gruppi di Galois", Alexander Hulpke

Naturalmente se si cercano buoni algoritmi di approssimazione e la loro complessità (ad esempio il metodo di Newton o il teorema di Sturm) questa è una domanda leggermente diversa e la risposta già pubblicata fornisce maggiori informazioni in quella direzione.

— Nikos M.
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Grazie! Sembra che mi sia accidentalmente posto una domanda molto eccitante!

— user6818

@ user6818, grazie risposta aggiornata con maggiori informazioni e ulteriori riferimenti

— Nikos M.

Presumo che tu stia considerando polinomi con coefficienti interi .

Hai preso il punto di partenza sbagliato per le tue indagini; il tuo obiettivo è trovare buone stime per le radici reali. Cercare una formula algebrica per poterla valutare con sufficiente precisione è qualcosa che puoi fare, ma non è proprio la cosa giusta da fare qui. (a meno che, naturalmente, "l' kennesima radice reale più grande di un polinomio" sia una delle tue operazioni algebriche)

Un punto di partenza molto migliore è usare il teorema di Sturm per isolare le radici del polinomio. È quindi possibile produrre stime migliori mediante la ricerca binaria, ma se è troppo lento, è possibile utilizzare il metodo di Newton per produrre rapidamente stime di alta precisione.

Ma si tratta solo di trovare certificati. C'è ancora la questione di quali certificati possano esistere.

Prima di tutto, farò notare che è possibile calcolare direttamente se due delle radici sono esattamente unità separate, ad esempio calcolando . Dovrai anche decidere cosa vuoi fare riguardo alle radici ripetute e affrontare in modo appropriato. Suppongo che tratterai questo caso in modo particolare. $k$ $\gcd(p(x), p(x-k))$

Se sappiamo che le due radici non sono esattamente unità a parte, ciò significa che puoi produrre una stima di precisione sufficiente per dimostrare che sono o maggiori o inferiori a unità. ad esempio ci sono due tipi di certificati: $k$ $k$

Il primo tipo (prova in negativo) è

non è una radice di $a$ $p$
non ha radici in $p$ $(a-k, a)$
ha tre radici in $p$ $(a, \infty)$

Il secondo tipo (prova in positivo) è

non è una radice di $a$ $p$
ha almeno due radici in $p$ $(a-k,a)$
ha due radici in $p$ $(a, \infty)$

Un certificato può essere verificato usando il teorema di Sturm. Ora, la tua domanda sulla dimensione di un certificato si riduce alla ricerca di quanti bit di precisione devi rappresentare . $a$

$a-b-k$ $a,b$ $f$

Non sono sicuro di un grande approccio, ma uno che dovrebbe darti qualcosa è osservare che tutti questi valori sono le radici del polinomio:

g (X) = {res}_{y} (f (y), f (X + y + K))

$g(x) = \mathop{\text{Res}_y}(f(y), f(x + y + k))$

Perché? Ricordiamo che il risultante di due polinomi monici è il prodotto di tutte le differenze delle loro radici, quindi

g (X) = c^{d^{2}} \underset{un', B}{Π} (B - (un' - X - K)) = \underset{un', B}{Π} (X - (un' - B - K))

$g(x) = c^{d^2} \prod_{a,b}(b - (a - x - k)) = \prod_{a,b} (x - (a-b-k))$

dove $c$ è il coefficiente principale e $d$ è il grado di $f$ . (forse ho scritto la formula per $-g(x)$ invece di $g(x)$ ; Non sono mai sicuro sul segno)

Quindi la domanda è quella di trovare stime di quanto siano grandi i coefficienti $g$ può essere e quindi, una volta che lo sai, trova delle stime su quanto sia vicina una radice di $g$ può essere a zero.

(o, in alternativa, trova la grandezza maggiore di una radice del polinomio inverso di $g$ can have; the roots of the reverse polynomial are the inverses of the roots of $g$ )

Are there any issues about data representation, here? NP is fundamentally about Turing machines and it's not immediately obvious how that relates to real numbers or the number of bits required to write down rationals of sufficient precision. (I'm sorry to not be very constructive: I know enough to know this might be a problem but not enough to know whether it really is a problem or, if it is, how to resove it.)

— David Richerby

@DavidRicherby: I'm assuming the inputs are essentially just the coefficients of the polynomial written in binary, and my expectation is that the number of bits you need to represent

a

$a$ in binary will be bounded by a polynomial function of the number of bits of input. If we use two parameters, the number of bits of input and the degree of the polynomial, then I'm nearly certain that the number of bits you need for

a

$a$ will be polynomial in the number of bits of input, but I'm less sure exactly how it will depend on the degree.

The input as a list of coefficients makes perfect sense. But your assumptions about the precision needed to represent the roots definitely need to be checked. For example, the reason that Hilbert's tenth problem (solving Diophantine equations) is undecidable is essentially that you can't bound the length of the solution in terms of the length of the input. That's not directly applicable here, since we only have one variable and we're not looking for integer solutions, but it does ask a pretty big question about the assumption of boundedness.

— David Richerby

@David: The theory of real closed fields is dramatically different than number theory; intuition about one doesn't really translate well to the other.

What if two roots are

k + 2^{- 2^{2^{n}}}

$k+2^{-2^{2^n}}$ apart or

k - 2^{- 2^{2^{n}}}

$k-2^{-2^{2^n}}$ apart? Producing an estimate of sufficient precision can be hard.

— Yuval Filmus

am going to take your questions as mostly open ended. the galois proof now known as the Abel-Ruffini thm shows the impossibility of polynomial solutions to the quintic. (in contrast to eg the quadratic equation). so its not really a result on the hardness of a problem per se but rather the impossibility. in this sense it is more analogous to eg a proof of undecidability of the halting problem. complexity theory is in general concerned with the "cost" of computing solutions. that is the viewpoint of two leading CS researchers in the introductory section of this following paper (Computability and Complexity / Kleinberg & Papadimitriou), sec 1 The Quest for the Quintic Formula:

Viewed from the safe distance of a few centuries, the story is clearly one about com- putation, and it contains many of the key ingredients that arise in later efforts to model computation: We take a computational process that we understand intuitively (solving an equation, in this case), formulate a precise model, and from the model derive some highly unexpected consequences about the computational power of the process. It is precisely this approach that we wish to apply to computation in general.

elsewhere a loose/ general analogy might be that a P $\neq$ NP proof (or other complexity class separation) is analogous to a computational impossibility result somewhat like the Abel-Ruffini thm. a separation result says roughly that problems of a certain type cannot be solved with "computational resources" of another certain type. a P $\neq$ Il teorema di NP verrebbe visto come un risultato (monumentale) di impossibilità computazionale.

— VZN
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Non sono sicuro che il problema dell'arresto sia una buona analogia, dal momento che è più sulla falsariga di "non è possibile calcolare la risposta" piuttosto che "non c'è affatto una risposta".

Il teorema di Galois non è un risultato di impossibilità computazionale proprio come il problema di Halting?

— user6818,