Esiste una relazione concreta tra il teorema di incompletezza di Gödel, il problema di arresto e le macchine universali di Turing?

Ho sempre pensato vagamente che la risposta alla domanda di cui sopra fosse affermativa secondo le seguenti linee. Il teorema di incompletezza di Gödel e l'indecidibilità del problema di arresto sono entrambi risultati negativi sulla decidibilità e stabiliti da argomenti diagonali (e negli anni '30), quindi devono in qualche modo essere due modi per vedere le stesse cose. E ho pensato che Turing usasse una macchina universale di Turing per dimostrare che il problema dell'arresto era irrisolvibile. (Vedi anche questa domanda math.SE. )

Ma ora che (insegnando un corso di calcolabilità) guardo più da vicino a queste questioni, sono piuttosto sconcertato da ciò che trovo. Quindi vorrei un aiuto per raddrizzare i miei pensieri. Mi rendo conto che da una parte l'argomentazione diagonale di Gödel è molto sottile: ha bisogno di molto lavoro per costruire un'affermazione aritmetica che può essere interpretata nel dire qualcosa sulla sua derivabilità. D'altra parte, la prova dell'indecidibilità del problema di arresto che ho trovato qui è estremamente semplice e non menziona nemmeno esplicitamente le macchine Turing, per non parlare dell'esistenza delle macchine universali Turing.

Una domanda pratica riguardo alle macchine universali di Turing è se è importante che l'alfabeto di una macchina universale di Turing sia uguale a quello delle macchine Turing che simula. Ho pensato che sarebbe stato necessario per elaborare una corretta discussione diagonale (facendo simulare la macchina), ma non ho trovato alcuna attenzione a questa domanda nella sconcertante raccolta di descrizioni di macchine universali che ho trovato in rete. Se non per il problema dell'arresto, le macchine universali di Turing sono utili in qualsiasi argomento diagonale?

Infine, sono confuso da questa ulteriore sezionedello stesso articolo del WP, in cui si afferma che una forma più debole dell'incompletezza di Gödel deriva dall'interruzione del problema: "un'assiomatizzazione completa, coerente e sana di tutte le affermazioni sui numeri naturali è irrealizzabile" dove "il suono" dovrebbe essere l'indebolimento. So che una teoria è coerente se non si può ricavare una contraddizione, e una teoria completa sui numeri naturali sembrerebbe significare che tutte le affermazioni vere sui numeri naturali possono essere derivate in essa; So che Gödel afferma che una tale teoria non esiste, ma non riesco a vedere come una bestia così ipotetica possa non riuscire a essere sana, vale a dire, anche derivare dichiarazioni che sono false per i numeri naturali: la negazione di una tale affermazione sarebbe vera e quindi per completezza anche derivabili, il che contraddirebbe la coerenza.

Gradirei qualsiasi chiarimento su uno di questi punti.

Ti consiglio di controllare il post sul blog di Scott Aaronson su una prova del Teorema dell'Incompletità tramite le macchine di Turing e il Teorema di Rosser. La sua prova del teorema di incompletezza è estremamente semplice e facile da seguire.

La risposta di Neel Krishnaswami al problema di Halting, insiemi incontestabili: prove matematiche comuni? su CSTheory punta a riferimenti che collegano i risultati di cui sopra sotto l'egida della teoria delle categorie.

(Questo dovrebbe essere un commento alla risposta di Suresh, ma è semplicemente troppo lungo per adattarsi lì. Quindi mi scuso in anticipo che non risponda davvero alla domanda di Marc.)

Trovo la risposta di Neel Arresto problema, insiemi incontestabili: comune prova matematica? sul post sul blog di CSTheory e Andrej Bauer insoddisfacenti per due motivi.

In primo luogo, di solito non abbiamo bisogno di tutto il gergo teorico di categoria per spiegare la connessione. L'esistenza di un linguaggio indecidibile è implicita nel Teorema di Cantor , che ha una prova diagonale molto elementare. Il motivo è che la serie di programmi è equinvia a . D'altra parte, poiché ogni lingua può essere vista come un sottoinsieme di , e quindi l'insieme di tutte le lingue è equineo a . Secondo il Teorema di Cantor, non vi è alcuna eccezione da a , e quindi sappiamo che deve esistere un linguaggio indecidibile.$\mathbb{N}$$\mathbb{N}$$\mathcal{P}(\mathbb{N})$$\mathbb{N}$$\mathcal{P}(\mathbb{N})$

In secondo luogo, la prova di cui sopra è insoddisfacente poiché vogliamo anche "vedere" l'esempio di un linguaggio ragionevole e indecidibile. La dimostrazione di cui sopra può essere vista come un argomento di conteggio e quindi non "costruttiva" in tal senso. Turing ha scoperto il problema dell'arresto come esempio.

Le macchine Universal Turing sono utili per alcuni argomenti diagonali, ad esempio nella separazione di alcune classi nelle gerarchie di complessità temporale o spaziale : la macchina universale viene utilizzata per dimostrare che esiste un problema decisionale in ma non in . (I limiti migliori sono disponibili nell'articolo WP)$\mbox{DTIME}(f(n)^3)$$\mbox{DTIME}(f(n/2))$

Tuttavia, per essere onesti, se guardi da vicino, la macchina universale non viene utilizzata nella parte `negativa ': la dimostrazione suppone che ci sia una macchina che risolverebbe una versione limitata del problema di arresto e quindi procede a costruire . (Nessuna macchina universale qui) La macchina universale viene utilizzata per risolvere la versione a tempo limitato del problema di arresto in un periodo di tempo maggiore.$K$$¬KK$

"Se non per il problema dell'arresto, le macchine universali di Turing sono utili in qualsiasi argomento diagonale?"

Il teorema di Rice è essenzialmente la generalizzazione della diagonalizzazione contro le macchine di Turing. Mostra che non esiste assolutamente alcuna proprietà sulle macchine Turing che puoi decidere per tutte le macchine Turing con un singolo algoritmo a meno che quella proprietà non valga per tutte le macchine Turing o nessuna macchina Turing. Notare il fatto che la proprietà che detiene tutte le macchine Turing o nessuna macchina Turing impedisce all'oggetto diagonalizzazione di essere una macchina Turing, quindi non può essere in primo luogo nell'elenco per contraddire la decisione sulla proprietà. In effetti questo è l' unicocosa che impedisce all'oggetto diagonalizzazione di essere nella lista e contraddire la decisione sulla proprietà, che è tutte le proprietà delle macchine di Turing sono indecidibili. Questo modello dell'oggetto di diagonalizzazione che deve essere un membro dell'elenco di cose su cui stai cercando di prendere una decisione, e tuttavia negare la decisione, è l'astrazione critica che il teorema di Lawvere (indicato nel collegamento nella risposta di Suresh) acquisisce al fine di generalizzare pienamente la nozione di diagonalizzazione. Ora, poiché sappiamo per esperienza che quasi ogni diagonalizzazione sembra avere la proprietà comune di portare a un risultato estremamente importante nella logica matematica, ciò rende il teorema di Lawvere lo strumento piuttosto interessante.