2-SAT con relazioni XOR NP-complete?

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Mi chiedo se esiste un algoritmo polinomiale per "2-SAT con relazioni XOR". Sia 2-SAT che XOR-SAT sono in P, ma è la sua combinazione?

Esempio di input:

Parte 2-SAT: (a or !b) and (b or c) and (b or d)
Parte XOR: (a xor b xor c xor 1) and (b xor c xor d)

In altre parole, l'input è la seguente formula booleana:

(a \lor \neg b) \land (b \lor c) \land (b \lor d) \land (a \oplus b \oplus \neg c) \land (b \oplus c \oplus d) .

$(a \lor \neg b) \land (b \lor c) \land (b \lor d) \land (a \oplus b \oplus \neg c) \land (b \oplus c \oplus d).$

Esempio di output: soddisfacente: a = 1, b = 1, c = 0, d = 0.

Sia il numero di clausole 2-SAT che il numero di clausole XOR nell'input sono , dove è il numero di variabili booleane. $O(n)$ $n$

— Albert Hendriks
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questo problema è abbastanza vicino, bit xor di vettori per eguagliare un vettore bersaglio , cstheory.se

— vzn

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(x_{1} \lor x_{2} \lor x_{3})

$(x_1 \lor x_2 \lor x_3)$

(x_{1} \lor \bar{y}) \land (y \oplus x_{2} \oplus z) \land (\bar{z} \lor x_{3})

$(x_1 \lor \overline{y}) \land (y \oplus x_2 \oplus z) \land (\overline{z} \lor x_3)$

y

$y$

z

$z$

— Kyle Jones
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Tutte le risposte sembrano corrette o di aiuto, ma ho trovato questo il più elegante (imho).

— Albert Hendriks,

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Bella risposta. Vale la pena ricordare che la semplice equità non sarebbe sufficiente qui (poiché le assegnazioni soddisfacenti delle espressioni corrispondenti a tutte le clausole di un CNF soddisfacente potrebbero non corrispondere), ma l'espressione riscritta in realtà ha un compito soddisfacente corrispondente per ogni compito soddisfacente di la clausola originale.

— Klaus Draeger,

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Non hai specificato l'arità delle tue relazioni XOR, ma come nella solita riduzione da SAT a 3SAT, puoi sempre organizzare che la loro arità sia al massimo 3. Ora sei in ottima posizione per applicare il teorema di dicotomia di Schaefer , che indica se il problema è in P o NP completo (queste sono le uniche due opzioni). Se risulta essere in P, il passo successivo potrebbe essere quello di Allender et al. , che ti farà sapere quanto è facile il tuo problema.

— Yuval Filmus
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O (n)

$O(n)$

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Secondo il teorema di dicotomia di Schaefer , questo è NP-completo.

$\Gamma$ $R(x,y,z)$ $x \lor y$ $x \lor \neg y$ $\neg x \lor \neg y$ $x \oplus y \oplus z$ $x \oplus y \oplus \neg z$

Ora applica il teorema di dicotomia di Schaefer, nella sua forma moderna . Controlla ciascuna delle sei operazioni per vedere se sono un polimorfismo:

$x \lor y$
$\neg x \lor \neg y$
$x \lor y$ $(0,1,0)$ $(1,0,0)$ $(0,0,0)$
$\neg x \lor \neg y$ $(0,1,0)$ $(1,0,0)$ $(1,1,0)$
$x \oplus y \oplus z$ $(0,0,1)$ $(0,1,0)$ $(1,0,0)$ $(0,0,0)$
$x \lor y$ $(0,1,0)$ $(1,0,0)$ $(1,1,0)$ $(0,0,0)$

Ne consegue che questo problema è NP-completo, anche se si limita la lunghezza di tutte le clausole XOR al massimo 3.

$(x \oplus y)$ $(x \lor y) \land (\neg x \lor \neg y)$

— DW
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