I set NP completi sono formati da altri due set solo se almeno uno è NP-difficile?

Questa domanda è in qualche modo una conversione a una precedente domanda sui set formati da operazioni sui set completi NP:

Se l'insieme risultante dall'unione, intersezione o prodotto cartesiano di due insiemi decidibili e è NP-completo, almeno uno di necessariamente NP-duro? So che non possono essere entrambi in P (supponendo P! = NP) poiché P è chiuso in queste operazioni impostate. So anche che le condizioni di "decidibile" e "NP-difficile" sono necessarie dal momento che se consideriamo qualsiasi set NP completo e un altro set al di fuori di NP (sia NP-difficile o indecidibile) allora possiamo formare due nuovi NP-hard set non in NP il cui incrocio è NP-completo. Ad esempio: e $L_1$ $L_2$ $L_1, L_2$ $L$ $B$ $L_1:= 01L \cup 11B$ $L_2:= 01L \cup 00B$ . Tuttavia, non so come procedere dopo.

Sto pensando che il caso di unione potrebbe non essere vero in quanto siamo in grado di prendere una serie NP-completo ed eseguire la costruzione nel teorema di Ladner per ottenere una serie NPI che è un sottoinsieme di . Quindi è il set NP completo originale. Tuttavia, non so se sia ancora in NPI o NP-hard. Non so nemmeno da dove cominciare per il caso dell'intersezione e del prodotto cartesiano. $A$ $B \in$ $A$ $B \cup (A \setminus B) = A$ $A \setminus B$

complexity-theory np-hard np np-intermediate

— Ari
fonte

Un problema in P può essere NP-completo se P = NP, il che rende falsa la tua affermazione "non possono essere entrambi in P".

— Wojowu,

@Wojowu Grazie, hai ragione. Ho solo supposto che fosse chiaro che l'intera domanda si basa sulla premessa che P! = NP. Altrimenti è insignificante / banale poiché avremmo quindi NPC = P. Modificherò la domanda.

— Ari,

@Ari, Actually

, anche se

N P C \neq P

$NPC\not = P$

P = N P

$P=NP$

— Tom van der Zanden,

@TomvanderZanden Come è possibile?

quindi se P = NP allora tutti i problemi in NP possono essere risolti in tempo polinomiale compresi i problemi in NPC.

N P C \subseteq N P

$NPC \subseteq NP$

— Ari,

@Ari Il set vuoto e il set di tutte le stringhe sono in

, ma non sono

completi. Non puoi ridurre nulla al set vuoto (o al set di tutte le stringhe) perché è sempre un'istanza no (resp. Yes).

N P

$NP$

N P

$NP$

— Tom van der Zanden,

L'intersezione di due lingue non NP-hard può essere NP-hard. Esempio: le soluzioni di qualsiasi istanza 3SAT sono l'intersezione impostata delle soluzioni di un'istanza HORN-3SAT e un'istanza ANTIHORN-3SAT. Questo perché una clausola 3CNF deve essere una clausola Horn o anti-Horn e un'istanza 3SAT è la congiunzione di tali clausole. 3SAT è ovviamente NP-completo; HORN-3SAT e ANTIHORN-3SAT sono entrambi in P.

— Kyle Jones
fonte

Non posso seguire il tuo esempio. L'intersezione di HORN-SAT e ANTIHORN-SAT è un linguaggio piuttosto noioso che è decisamente in P.

— Yuval Filmus,

HORN-3SAT può essere definito in molti modi. Un modo è correggere una codifica delle istanze di HORN-3SAT - ogni stringa codifica una tale istanza - e quindi HORN-3SAT è costituito dalle istanze soddisfacenti. Questa codifica è probabilmente diversa dalla codifica che useresti per ANTIHORN-3SAT, quindi non è chiaro quale sia esattamente il linguaggio di intersezione - sicuramente non SAT.

— Yuval Filmus,

Un'altra possibilità è definire HORN-3SAT come la lingua delle istanze 3SAT che sono (i) in forma di corno, (ii) soddisfacenti. Ora l'intersezione di HORN-3SAT e ANTIHORN-3SAT ha un senso: è costituita da tutte le istanze 3SAT che sono (i) in entrambe le forme Horn e anti-Horn, (ii) soddisfacenti. Questo può essere solo più semplice di ciascuno di HORN-3SAT e ANTIHORN-3SAT.

— Yuval Filmus,

Questa è una definizione molto strana di intersezione linguistica, diversa da quella che si intendeva qui. Se

sono lingue (come 3SAT), per loro intersezione intendiamo

L_{1}

$L_1$

L_{2}

$L_2$

L_{1} \cap L_{2}

$L_1 \cap L_2$

— Yuval Filmus,

@ KyleJones @ Yuval Penso che potrebbe esserci un po 'di confusione riguardo alle istanze rispetto alle lingue. Mentre ogni istanza di 3SAT è certamente composto unicamente da clausole di Horn e clausole anti-Horn, è non è il caso che la lingua

è uguale a

o in alternativa

3 S A T

$\mathsf{3SAT}$

H O R N 3 S A T \cap A N T I H O R N 3 S A T

$\mathsf{HORN3SAT}\cap\mathsf{ANTIHORN3SAT}$

poiché questi set hanno istanze ciascuna compostaesclusivamenteda clausole Horn o clausole Anti-Horn, mentre ciascuna istanza di 3SAT può avere una combinazione di questi due tipi di clausole.

H O R N 3 S A T \cup A N T I H O R N 3 S A T

$\mathsf{HORN3SAT}\cup\mathsf{ANTIHORN3SAT}$

— Ari