I set NP completi sono formati da altri due set solo se almeno uno è NP-difficile?


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Questa domanda è in qualche modo una conversione a una precedente domanda sui set formati da operazioni sui set completi NP:

Se l'insieme risultante dall'unione, intersezione o prodotto cartesiano di due insiemi decidibili e è NP-completo, almeno uno di necessariamente NP-duro? So che non possono essere entrambi in P (supponendo P! = NP) poiché P è chiuso in queste operazioni impostate. So anche che le condizioni di "decidibile" e "NP-difficile" sono necessarie dal momento che se consideriamo qualsiasi set NP completo e un altro set al di fuori di NP (sia NP-difficile o indecidibile) allora possiamo formare due nuovi NP-hard set non in NP il cui incrocio è NP-completo. Ad esempio: eL1L 1 , L 2 L B L 1 : = 01 L 11 B L 2 : = 01 L 00 BL2L1,L2LBL1:=01L11BL2:=01L00B. Tuttavia, non so come procedere dopo.

Sto pensando che il caso di unione potrebbe non essere vero in quanto siamo in grado di prendere una serie NP-completo ed eseguire la costruzione nel teorema di Ladner per ottenere una serie NPI che è un sottoinsieme di . Quindi è il set NP completo originale. Tuttavia, non so se sia ancora in NPI o NP-hard. Non so nemmeno da dove cominciare per il caso dell'intersezione e del prodotto cartesiano.B A B ( A B ) = A A BABAB(UNB)=UNUNB


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Un problema in P può essere NP-completo se P = NP, il che rende falsa la tua affermazione "non possono essere entrambi in P".
Wojowu,

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@Wojowu Grazie, hai ragione. Ho solo supposto che fosse chiaro che l'intera domanda si basa sulla premessa che P! = NP. Altrimenti è insignificante / banale poiché avremmo quindi NPC = P. Modificherò la domanda.
Ari,

@Ari, Actually , anche se P = N P . NPCPP=NP
Tom van der Zanden,

@TomvanderZanden Come è possibile? quindi se P = NP allora tutti i problemi in NP possono essere risolti in tempo polinomiale compresi i problemi in NPC. NPCNP
Ari,

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@Ari Il set vuoto e il set di tutte le stringhe sono in , ma non sono N P completi. Non puoi ridurre nulla al set vuoto (o al set di tutte le stringhe) perché è sempre un'istanza no (resp. Yes). NPNP
Tom van der Zanden,

Risposte:


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L'intersezione di due lingue non NP-hard può essere NP-hard. Esempio: le soluzioni di qualsiasi istanza 3SAT sono l'intersezione impostata delle soluzioni di un'istanza HORN-3SAT e un'istanza ANTIHORN-3SAT. Questo perché una clausola 3CNF deve essere una clausola Horn o anti-Horn e un'istanza 3SAT è la congiunzione di tali clausole. 3SAT è ovviamente NP-completo; HORN-3SAT e ANTIHORN-3SAT sono entrambi in P.


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Non posso seguire il tuo esempio. L'intersezione di HORN-SAT e ANTIHORN-SAT è un linguaggio piuttosto noioso che è decisamente in P.
Yuval Filmus,

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HORN-3SAT può essere definito in molti modi. Un modo è correggere una codifica delle istanze di HORN-3SAT - ogni stringa codifica una tale istanza - e quindi HORN-3SAT è costituito dalle istanze soddisfacenti. Questa codifica è probabilmente diversa dalla codifica che useresti per ANTIHORN-3SAT, quindi non è chiaro quale sia esattamente il linguaggio di intersezione - sicuramente non SAT.
Yuval Filmus,

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Un'altra possibilità è definire HORN-3SAT come la lingua delle istanze 3SAT che sono (i) in forma di corno, (ii) soddisfacenti. Ora l'intersezione di HORN-3SAT e ANTIHORN-3SAT ha un senso: è costituita da tutte le istanze 3SAT che sono (i) in entrambe le forme Horn e anti-Horn, (ii) soddisfacenti. Questo può essere solo più semplice di ciascuno di HORN-3SAT e ANTIHORN-3SAT.
Yuval Filmus,

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Questa è una definizione molto strana di intersezione linguistica, diversa da quella che si intendeva qui. Se e L 2 sono lingue (come 3SAT), per loro intersezione intendiamo L 1L 2 . L1L2L1L2
Yuval Filmus,

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@ KyleJones @ Yuval Penso che potrebbe esserci un po 'di confusione riguardo alle istanze rispetto alle lingue. Mentre ogni istanza di 3SAT è certamente composto unicamente da clausole di Horn e clausole anti-Horn, è non è il caso che la lingua è uguale a H O R N 3 S A TA N T I H O R N 3 S A T o in alternativa H O R N 3 S A TA N3SUNTHORN3SUNTUNNTioHORN3SUNT poiché questi set hanno istanze ciascuna compostaesclusivamenteda clausole Horn o clausole Anti-Horn, mentre ciascuna istanza di 3SAT può avere una combinazione di questi due tipi di clausole.HORN3SUNTUNNTioHORN3SUNT
Ari
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