Albero di spanning minimo con parametri a doppio peso

Considera un grafico . Ogni bordo ha due pesi e . Trova un albero di spanning che minimizzi il prodotto . L'algoritmo dovrebbe essere eseguito in tempo polinomiale rispetto a. $G(V,E)$ $e$ $A_e$ $B_e$ $\left(\sum_{e \in T}{A_e}\right)\left(\sum_{e \in T}{B_e}\right)$ $|V|, |E|$

Trovo difficile adattare uno qualsiasi degli algoritmi tradizionali su spanning tree (Kruskal, Prim, Edge-Deletion). Come risolverlo? Qualche suggerimento?

algorithms graph-theory spanning-trees

— strin
fonte

Forse provare a costruire un nuovo grafico, in cui il peso di un bordo è .

e

$e$

max (A_{e}, B_{e})

$\max(A_e,B_e)$

— utdiscant,

È un problema / esercizio a casa? In tal caso, proviene da un libro di testo? Il motivo per cui chiedo è che il contesto possa aiutare a "decodificare" il problema. Non è immediatamente ovvio che un algoritmo goloso sia appropriato qui, ma se proviene dal capitolo sugli algoritmi golosi ...

— Joe

@utdiscant, che non funzionerà. I bordi negativi possono essere utili.

— Nicholas Mancuso,

anche per i bordi positivi non è utile, ad esempio la coppia (10,10) non è migliore della coppia (11,1) nella maggior parte dei casi.

Risposte:

Suppongo che non ti vengano dati bordi con ponderazione negativa, perché potrebbe non funzionare se ci sono pesi negativi.

Algoritmo

Per ciascuno dei bordi, etichettarli da a $1$ $n$

Lascia peso A del numero del bordo $a_i$ $i$

Lascia che peso B del numero del bordo $b_i$ $i$

Prepara questa tabella

   |a_1 a_2 a_3 a_4 .. a_n
---+-------------------------
b_1|.........................
b_2|.........................
 . |.........................
 . |.........................
b_n|...................a_n * b_n

Con ciascuno degli elementi della tabella il prodotto di riga e colonna.

Per ogni bordo, sommare la riga e la colonna della tabella pertinente (e ricordare di rimuovere l'elemento nell'intersezione poiché è stato sommato due volte).

Trova il bordo con la somma maggiore, eliminalo se non disconnette il grafico. Segna il bordo come essenziale altrimenti. Se un bordo è stato eliminato, riempire le sue righe e colonne con 0.

Correttezza

Il risultato è ovviamente un albero.

Il risultato è ovviamente spanning poiché nessun vertice è disconnesso.

Il risultato è minimo? Se esiste un altro bordo la cui eliminazione creerà un albero di spanning più piccolo alla fine dell'algoritmo, quel bordo sarebbe stato prima eliminato e annullato. (se qualcuno potesse aiutarmi a rendere questo un po 'più rigoroso / e / o contro esempio, sarebbe fantastico)

Runtime

Ovviamente polinomiale in. $|V|$

modificare

$(2,11), (11,2), (4,6)$ è non un esempio contatore.

$a_1 = 2, a_2 = 11, a_3 = 4$

$b_1 = 11, b_2 = 2, b_3 = 6$

Poi

   | 2     11     4
---+--------------------
11 | 22    121    44
 2 | 4     22     8
 6 | 12    66     24

\begin{aligned} (4, 6) & = 44 + 8 + 24 + 66 + 12 = 154 \\ (2, 11) & = 22 + 4 + 12 + 121 + 44 = 203 \\ (11, 2) & = 121 + 22 + 66 + 4 + 8 = 221 \end{aligned}

$\begin{align*} (4,6) &= 44 + 8 + 24 + 66 + 12 = 154 \\ (2,11) &= 22 + 4 + 12 + 121 + 44 = 203 \\ (11,2) &= 121 + 22 + 66 + 4 + 8 = 221 \end{align*}$

$(11,2)$ viene rimosso.

Termina con $(2,11), (4,6) = 6 * 17 = 102$

Altri alberi spanning sono

$(11,2), (4,6) = 15 * 12 = 180$

$(2,11), (11,2) = 13 * 13 = 169$

— Herp Derpington
fonte

Mi sembra che questo sia un approccio piuttosto avido. Non sono convinto dalla tua "prova" di minimalismo.

— Nejc,

@SaeedAmiri Come è un contro esempio? Ho pubblicato il lavoro nella sezione modificata, l'algoritmo fornisce il risultato corretto.

— Herp Derpington

Quello che hai fatto è scoprire quanto ciascuno contribuisce in e scegli quelli che hanno il maggior impatto. Va bene, ma non è ciò che è richiesto. È una domanda difficile. Se vuoi migliorare la tua risposta, devi presentare una prova. Altrimenti, non serve.

(a_{i}, b_{i})

$(a _i, b _i)$

\sum_{e \in E} a_{i} . \sum_{e \in E} b_{i}

$\sum _{e \in E} a _i. \sum _{e \in E} b _i$

— AJed

tuttavia è molto ingiusto ottenere un voto negativo per i propri sforzi.

— AJed

@AJed La dimostrazione è la stessa dell'eliminazione prim / kush / reverse. Tutto ciò che dobbiamo dimostrare ora è che la proprietà di taglio è ancora valida.

— Herp Derpington,

Questa è la soluzione di http://www.cnblogs.com/autsky-jadek/p/3959446.html .

Possiamo vedere ogni albero di spanning come un punto nel piano , dove è la somma del peso , y è la somma del peso $x-y$ $x$ $\sum_{e\in T}A_{e}$ $\sum_{e\in T}B_{e}$ . L'obiettivo è ridurre al minimo . $xy$

Trova il minimo spanning tree in base al peso e il peso . Quindi abbiamo due punti nel piano xy . In tutti i punti dell'albero spanning nel piano, ha il minimo , ha il minimo . $A$ $B$ $A,B$ $A$ $x$ $B$ $y$
Ora miriamo a trovare un punto nella del triangolo che abbia la massima distanza dalla linea , in modo che possiamo avere il valore per minimizzato per tutti i punti nel triangolo . $C$ $OAB$ $AB$ $xy$ $C$ $ABC$

Perché $2S_{ABC}=|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=(B_{x}-A_{x},B_{y}-A_{y})\times(C_{x}-A_{x},C_{y}-A_{y})=(B_{x}-A_{x})\cdot C_{y}+(A_{y}-B_{y})\cdot C_{x}-A_{y}(B_{x}-A_{x})+A_{x}(B{}_{y}-A_{y})$ .

Nota che è una costante, quindi ora puntiamo a massimizzare . Quindi creiamo un nuovo grafico , mentre il peso . Ora eseguiamo un albero di spanning massimo su per ottenere il punto . $A_{y}(B_{x}-A_{x})+A_{x}(B{}_{y}-A_{y}$ $(B_{x}-A_{x})\cdot C_{y}+(A_{y}-B_{y})\cdot C_{x}$ $G^{\prime}=(V,E)$ $w(e)=B_{e}(B_{x}-A_{x})+C_{x}(A_{y}-B_{y})$ $G^{\prime}$ $C$
Eseguire l'algoritmo sopra ricorsivamente, fino a quando non c'è più spanning alberi tra e . $OBC, OAC$ $BC,AC$ $O$
Ora abbiamo una serie di possibili spanning tree. Calcola il valore per ogni albero per ottenere l'albero minimo. $xy$