Ordinamento come programma lineare

Un numero sorprendente di problemi ha riduzioni abbastanza naturali della programmazione lineare (LP). Vedi il capitolo 7 di [1] per esempi come flussi di rete, abbinamento bipartito, giochi a somma zero, percorsi più brevi, una forma di regressione lineare e persino valutazione del circuito!

Poiché la valutazione del circuito si riduce alla programmazione lineare, qualsiasi problema in deve avere una formulazione di programmazione lineare. Pertanto, abbiamo un "nuovo" algoritmo di ordinamento, tramite riduzione a un programma lineare. Quindi, le mie domande lo sono$P$

1. Qual è il programma lineare che ordinerà una matrice di numeri reali?$n$
2. Qual è il tempo di esecuzione dell'algoritmo di ordinamento Riduci a LP e risolvi?

1. Algorithms di S. Dasgupta, C. Papadimitriou e U. Vazirani (2006)

La seguente risposta è sostanzialmente equivalente a quella che già conosci, ma può sembrare un po 'meno "magica". D'altra parte, è più tecnico, ma credo che la tecnica generale "scrivere il tuo problema come ottimizzazione sulle matrici di permutazione e invocare Birkhoff-von Neumann" sia ottima da sapere.

Per una permutazione di { 1 , … , n } definire la matrice di permutazione P σ come la matrice 0-1 in modo tale che P i j = 1 se j = σ ( i ) e P i j = 0 altrimenti. Questa è semplicemente la matrice che consente le coordinate di un vettore x secondo σ : se y = P σ x allora y i = x $\sigma$$\{1, \ldots, n\}$$P_\sigma$$P_{ij} = 1$$j = \sigma(i)$$P_{ij}=0$$x$$\sigma$$y = P_\sigma x$ . Denoteròy= P σ xcomeσ(x)da ora in poi.$y_i = x_{\sigma(i)}$$y=P_{\sigma}x$$\sigma(x)$

Un'altra definizione: una matrice non negativa M è doppiamente stocastica se ciascuna delle sue righe e ciascuna delle sue colonne si somma a 1.$n\times n$$M$

E un fatto che è molto importante nell'ottimizzazione combinatoria: il teorema di Birkhoff-von Neumann:

Una matrice è doppiamente stocastica se e solo se è una combinazione convessa di matrici di permutazione, cioè se e solo se esistono permutazioni σ 1 , … , σ k e reali positivi α 1 , … , α k tale che M = ∑ k i = 1 α i P σ i e ∑ α i = 1 .$M$$\sigma_1, \ldots, \sigma_k$$\alpha_1 , \ldots, \alpha_k$$M = \sum_{i = 1}^k{\alpha_i P_{\sigma_i}}$$\sum{\alpha_i} = 1$

Si noti che una matrice doppiamente stocastica è definita dalle disuguaglianze

∀ j : n ∑ i = 1 M i j = 1 ∀ i , j : M i j ≥

Tutte queste disuguaglianze prese insieme determinano un politopo , e il teorema di Birkhoff-von Neumann afferma che i punti estremi (vertici) di questo politopo sono tutte matrici di permutazione. Dalla programmazione lineare di base, sappiamo che questo implica che qualsiasi programma lineare che abbia le suddette disuguaglianze come i suoi vincoli (e nessun altro vincolo) avrà una matrice di permutazione come soluzione ottimale.$P$

Quindi, dato un input da ordinare, dobbiamo solo trovare un obiettivo lineare f a ( M ) per il quale:$a = (a_1, \ldots, a_n)$$f_a(M)$

• se σ ( a ) è ordinato ma τ ( a ) no.$f_a(P_\tau) < f_a(P_\sigma)$$\sigma(a)$$\tau(a)$

Quindi formulare un programma lineare con l'obiettivo di massimizzare e le disuguaglianze sopra come vincoli, e si è sicuri che una soluzione ottimale sia la matrice di permutazione P σ per σ tale che σ ( a ) sia ordinato. Naturalmente, è facile "leggere" σ da P σ .$f_a(M)$$P_\sigma$$\sigma$$\sigma(a)$$\sigma$$P_\sigma$

$f_a(M)$$v^T M a$$v = (1, \ldots, n)$

• $M$
• $P_\sigma$$f_a(P_\sigma) = \sum_{i = 1}^n{i a_{\sigma(i)}}$
• $\sigma$$\sigma(a)$$\sigma(a)$

E voilà, hai un programma lineare per l'ordinamento. Sembra sciocco per l'ordinamento, ma questo è in realtà un potente metodo di ottimizzazione.