Quanto velocemente possiamo risolvere un programma lineare intero totalmente unimodulare?

(Questo è un seguito a questa domanda e alla sua risposta .)

Ho il seguente programma intero lineare unimodulare (TU). Qui sono tutti numeri interi positivi indicati come parte dell'input. Un sottoinsieme specificato delle variabili è impostato su zero e il resto può assumere valori integrali positivi:x i $\ell,m,n_{1},n_{2},\ldots,n_{\ell},c_{1},c_{2},\ldots,c_{m},w$$x_{ij}$

Minimizzare

$\sum_{j=1}^{m}c_{j}\sum_{i=1}^{\ell}x_{ij}$

Soggetto a:

$\sum_{j=1}^{m}x_{ij}=n_{i}\,\,\forall i$

$\sum_{i=1}^{\ell}x_{ij}\ge w\,\,\forall j$

La matrice dei coefficienti della forma standard è una matrice con voci da .- 1 , 0 , $(2\ell+m)\times \ell m$${-1,0,1}$

La mia domanda è:

Quali sono i migliori limiti superiori noti per il tempo di esecuzione degli algoritmi del tempo polinomiale che risolvono tale ILP? Potresti indicarmi alcuni riferimenti su questo?

Ho fatto qualche ricerca, ma nella maggior parte dei casi si fermano dicendo che un ILP TU può essere risolto in tempo polinomiale usando algoritmi a tempo polinomiale per LP. Una cosa che sembrava promettente è un articolo del 1986 di Tardos [1] in cui dimostra che tali problemi possono essere risolti nel tempo polinomiale nella dimensione della matrice dei coefficienti. Per quanto ho potuto capire dal documento, tuttavia, il tempo di esecuzione di tale algoritmo dipende a sua volta dal tempo di esecuzione di un algoritmo a tempo polinomiale per la risoluzione di LP.

Conosciamo algoritmi che risolvono questo caso speciale (di TU ILP) in modo significativamente più veloce degli algoritmi generali che risolvono il problema LP?

Altrimenti,

Quale algoritmo per LP risolverebbe tale ILP il più veloce (in senso asintotico)?

[1] Un algoritmo fortemente polinomiale per risolvere programmi lineari combinatori, Eva Tardos, Operations Research 34 (2), 1986

Credo che su una classe di matrici totalmente unimodulari , di Yannakakis, dia una risposta alla tua domanda per un caso speciale di TU ILP (ogni volta che non ci sono cicli dispari in un grafico bipartito ottenuto vedendo la matrice dei coefficienti come una matrice di adiacenza).

In quel documento c'è un riferimento agli algoritmi polinomiali per una classe di programmi lineari , che sembra gestire tutte le matrici totalmente unimodulari, ma non sono sicuro di quanto sia più efficiente rispetto agli algoritmi generici per gli LP.

$O([n^3/\ln n]L)$

È stato dimostrato che LP totalmente unimodulare è risolvibile in tempi fortemente polinomiali sotto un "presupposto di degenerazione" - link qui (quindi se l'ILP ha una formulazione Totally Unimodular (TU) con gli stessi presupposti, questo algoritmo risolverebbe un ILP TU, in forte tempo polinomiale: si tratta di uno sviluppo dai metodi di Tardos e implica limiti più stretti a una formulazione ILP (totalmente unimodulare) TU.