Durezza e direzioni delle riduzioni

Diciamo che sappiamo che il problema A è difficile, quindi riduciamo A al problema sconosciuto B per dimostrare che anche B è difficile.

Ad esempio: sappiamo che la colorazione 3 è difficile. Quindi riduciamo la colorazione da 3 a 4. Combinando uno dei colori nella 3 colorazione si ottiene una 4 colorazione, ergo 4-colorazione è difficile.

Ecco come. Ma perché è una prova che la colorazione di 4 è difficile? È possibile utilizzare la soluzione al problema delle 4 colorazioni per risolvere il problema delle 3 colorazioni? Se é cosi, come? In caso contrario, perché è una prova valida?

Bonus q: le riduzioni polinomiali devono essere in grado di procedere in entrambi i modi?

Modifica: se tu potessi spiegare perché questo è un esempio, faresti un favore a Internet. Non ho trovato questo spiegato in modo concreto da nessuna parte.

Una riduzione da un problema ad un altro problema B è una trasformazione f di qualsiasi istanza a di A in un'istanza f ( a ) di B , tale che$A$$B$$f$$a$$A$$f(a)$$B$

Se è una trasformazione che preserva la complessità a cui sei interessato (ad es. F è una trasformazione polinomiale se consideri N P -hardness), l'esistenza di un algoritmo A B che risolve B implica l'esistenza di un algoritmo che risolve A : è sufficiente eseguire f , allora A B .$f$$f$$\mathsf{NP}$$\mathcal A_B$$B$$A$$f$$\mathcal A_B$

Quindi l'esistenza di tale riduzione una da a B significa che B non è facile che A . Non è necessario avere una riduzione nell'altro modo.$A$$B$$B$$A$

$G$$f(G)=G$$x∈3\mathsf{COL}$ $⇒$ $f(x)∈4\mathsf{COL}$$f(x)∈4\mathsf{COL}$ $⇒$ $x∈3\mathsf{COL}$$(E)$$f$

$f$$3\mathsf{COL}$$4\mathsf{COL}$$G$$f(G)$$G$$u$

• La trasformazione preserva la complessità (polinomio, qui);
• $G$$3\mathsf{COL}$$f(G)$$4\mathsf{COL}$$u$
• $f(G)$$4\mathsf{COL}$$u$$u$$G$$3\mathsf{COL}$

$f$$4\mathsf{COL}$$3\mathsf{COL}$$n\mathsf{COL}$$m\mathsf{COL}$$n≥m$$3\mathsf{COL}$$n\mathsf{COL}$