Come dimostrare P

Sono consapevole che questa sembra una domanda molto stupida (o troppo ovvia per affermare). Tuttavia, sono confuso ad un certo punto.

Possiamo mostrare che P NP$=$ se e solo se siamo in grado di progettare un algoritmo che risolve una determinata istanza di problema in NP in tempo polinomiale.

Tuttavia, non capisco come mai possiamo dimostrare che P NP . Per favore, mi scusi per la seguente similitudine in quanto potrebbe essere così irrilevante, ma dire a qualcuno di provare se P non è uguale a NP mi sembra come dire a qualcuno di dimostrare che Dio non esiste.$\neq$

C'è una serie di problemi, che non sono in grado di essere risolti da un automa finito non deterministico (NFA) con un numero polinomiale di stati indipendentemente dalla tecnologia attuale (so che questa è una definizione sciatta). Inoltre, abbiamo una serie considerevolmente ampia di algoritmi che pone alcuni problemi cruciali (percorso più breve, albero di spanning minimo e persino somma di numeri interi ) problemi di tempo polinomiale.$1 + 2 + \dots + n$

La mia domanda in breve: se credo che P NP$=$ , diresti "allora mostra l'algoritmo che risolve un problema NP in tempo polinomiale!". Supponiamo che io creda P NP . Allora cosa vorresti chiedere esattamente? Cosa vorresti che mostrassi?$\neq$

La risposta è chiaramente "la tua prova". Tuttavia, che tipo di prova dimostra che un algoritmo non può esistere? (in questo caso, un algoritmo temporale polinomiale per un problema NP )

Sono tre i modi principali di cui sono a conoscenza che potrebbe dimostrare che P$\,\neq\,$NP .

1. $\Omega(n\log n)$$n$$O(n^c)$$c$La complessità del circuito è un'altra.

2. Mostrando che P e  NP hanno proprietà strutturali diverse. Ad esempio, P  è chiuso sotto integrazione. Se potessi mostrare quel NP$\,\neq\,$co-NP (cioè, che NP  non è chiuso sotto integrazione), allora deve essere quel P$\,\neq\,$NP . Naturalmente, questo sta spingendo il problema ad un livello più profondo - come dimostreresti che NP$\,\neq\,$co-NP ?

   $\exists\mathrm{SO}$

3. Dimostra che alcuni problemi non sono NP- completi. Se P$\,=\,$$\emptyset$$\Sigma^*$ $\,\neq\,$NP .

La mia domanda in breve: se credo che P = NP , diresti "allora mostra l'algoritmo che risolve un problema NP in tempo polinomiale!".

Non dimenticare che devi ancora dimostrare che l'algoritmo risolve il problema e che viene eseguito in tempo polinomiale.

Supponiamo che io creda P ≠ NP . Allora cosa vorresti chiedere esattamente? Cosa vorresti che mostrassi?

Innanzitutto, prova a spiegare "perché" P ≠ NP e perché questo motivo può essere usato per dimostrare P ≠ NP in un quadro logico adatto. Quindi traccia una bozza e spiega come difendere le sue parti più dubbie. Successivamente, suddividere questa prova in dichiarazioni più semplici, che possono essere verificate in modo indipendente.

• Ad esempio, il framework logico fornito da ZFC è buono (anche troppo buono in un certo senso) nel provare l'esistenza di modelli (di insiemi di assiomi esplicitamente dati, spesso anche soddisfacendo ulteriori proprietà metalogiche). Quindi, se conosci un motivo per P ≠ NP relativo all'esistenza di un modello con alcune strane proprietà, spiega prima questo motivo e poi mostra come il modello corrispondente può essere costruito all'interno di ZFC.
• Come non esempio, credo che una delle ragioni "per cui" P ≠ NP è che la matematica può approssimare quasi tutto ciò che accade nel mondo fisico, inclusa la casualità. Tuttavia, è noto che i sistemi formali sono molto limitati nella loro capacità di provare una data stringa, numero, "oggetto" o "artefatto" come essenzialmente casuali, quindi è improbabile che questo motivo possa essere usato per una prova in qualsiasi sistema formale deterministico esplicitamente dato. Forse se hai progettato un sistema probabilistico (quantistico) di prova, puoi verificare certe prove nel sistema solo fino a una probabilità finita a seconda delle tue risorse fisiche disponibili ...
• Come probabile non esempio, la legge del mezzo escluso riflette sostanzialmente una visione statica dell'universo (matematico), e quindi è estremamente improbabile che si mantenga in un universo dinamico. Ora NP = coNP (o qualsiasi altro crollo della gerarchia polinomiale) sarebbe sostanzialmente una versione approssimativa della legge del mezzo escluso rispetto alla complessità temporale, ma la complessità temporale è troppo vicina a un universo dinamico per renderlo possibile. Ci sono strutture logiche come la logica lineare di Girard che sono in grado di catturare aspetti dinamici dell'universo, quindi ... Nota comunque che Brouwer si trovava in una situazione simile e aveva già dichiarato il necessario fallimento del programma di Hilbert come un fatto nel suo discorso inaugurale Intuizionismo e formalismo nel 1912 (spiegando perché sarebbe un ragionamento circolare), ma non era ancora in grado di tracciare la prova di incompletezza di Gödel del 1930.
• Come esempio approssimativo, proviamo a catturare alcune delle prove disponibili per P ≠ NP , vale a dire il limite inferiore esponenziale per il polytope commesso viaggiatore e l'intrattabilità delle procedure basate sulla risoluzione per la soddisfacibilità a causa dei deboli principi del buco del piccione. Il "perché" in questo caso è che una certa classe di problemi NP-completi non può essere risolta in modo efficiente mediante algoritmi basati su determinati principi naturali (per la classe di problemi NP-completi considerati), come le formulazioni di programmazione lineare per TSP o basate sulla risoluzione metodi di prova per SAT. Diversi articoli hanno fornito diversi motivi indipendenti per cui questo potrebbe essere usato per dimostrare qualcosa, l'ultimo documento su TSP, ad esempio, ha citato come motivo una "stretta connessione tra riformulazioni di programmazione semidefinite di LP e protocolli di comunicazione quantistica unidirezionale", mentre l'ultimo documento sulla risoluzione citato due ragioni indipendenti, vale a dire limiti inferiori "per una classe di formule che rappresentano il principio del buco del piccione e per formule generate casualmente".
  Puoi anche osservare che ci sono stati tentativi di rafforzare i risultati nel tempo. I risultati iniziali per TSP riguardavano solo la formulazione di programmazione lineare simmetrica, mentre i risultati più recenti non hanno tale limitazione e si applicano anche ai problemi di taglio massimo e massimo stabile oltre al TSP. I risultati iniziali per la risoluzione hanno preso in considerazione solo le procedure di risoluzione di base di Davis-Putnam e una singola classe di contro-esempi artificiali, mentre i risultati più recenti coprono grandi classi di metodi basati sulla risoluzione e forniscono più classi di contro-esempi naturali.
  Per TSP, non ho idea di come rafforzare ulteriormente i risultati, tranne forse applicando a più problemi oltre a TSP, taglio massimo e set massimo stabile. Per la risoluzione, avrei molte idee su come rafforzare ulteriormente i risultati, ma l'articolo a cui mi sono collegato è del 2002, Stephen Cook e Phuong Nguyen hanno pubblicato una monografia Logical Foundations of Proof Complexity nel 2010 che non ho nemmeno sfogliato, e io suppongo che coprirà già molte delle mie idee. È interessante notare quanta poca differenza effettivamente fa per la maggior parte di noi quanto questi risultati siano stati rafforzati nel tempo, nonostante il nostro interesse per il P ≠ NPdomanda. Anche se nel frattempo sarebbe stato dimostrato che gli algoritmi che si basano su sistemi logici senza un equivalente della regola di taglio non sono in grado di risolvere efficacemente i problemi di soddisfacibilità, continueremmo a credere che non ci siano stati praticamente progressi su P ≠ NP , che il problema è essenzialmente ancora più aperto che mai.