Esistono problemi specifici noti per essere indecidibili per ragioni diverse dalla diagonalizzazione, dall'autoreferenzialità o dalla riducibilità?

Ogni problema indecidibile che conosco rientra in una delle seguenti categorie:

Problemi indecidibili a causa della diagonalizzazione (autoreferenziazione indiretta). Questi problemi, come l'arresto del problema, sono indecidibili perché potresti usare un presunto decisore per il linguaggio per costruire una TM il cui comportamento porta a una contraddizione. Potresti anche raggruppare molti problemi indecidibili sulla complessità di Kolmogorov in questo campo.
Problemi indecidibili a causa dell'autoreferenziazione diretta. Ad esempio, si può dimostrare che il linguaggio universale è indecidibile per il seguente motivo: se fosse decidibile, sarebbe possibile usare il teorema di ricorsione di Kleene per costruire una TM che ottiene la propria codifica, chiedere se accetterà il proprio input , quindi fa il contrario.
Problemi indecidibili a causa di riduzioni da problemi indecidibili esistenti. Buoni esempi qui includono il problema di corrispondenza post (riduzione dal problema di arresto) e il problema di Entscheidungs.

Quando insegno ai miei studenti la teoria della computabilità, molti studenti prendono anche questo e spesso mi chiedono se ci sono problemi che possiamo dimostrare che sono indecidibili senza, in ultima analisi, risalire a qualche tipo di inganno di auto-riferimento. Posso dimostrare in modo non costruttivo che ci sono infiniti problemi indecidibili da un semplice argomento di cardinalità che collega il numero di TM al numero di lingue, ma questo non fornisce un esempio specifico di un linguaggio indecidibile.

Esistono lingue ritenute indecide per motivi non elencati sopra? In tal caso, quali sono e quali tecniche sono state utilizzate per mostrare la loro indecidibilità?

computability proof-techniques undecidability

— templatetypedef
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@EvilJS La mia comprensione era che la prova di indecidibilità lì implicasse la capacità di simulare TM, anche se forse mi sbaglio?

— templatetypedef il

Si può dire che il teorema di Rice potrebbe non rientrare in nessuna di queste categorie, ma la prova del teorema lo fa.

— Ryan,

@EvilJS Questo è un buon punto. Davvero, quello che sto cercando qui è se esiste una tecnica fondamentalmente diversa che possiamo usare. Sarebbe bello, ad esempio, se qualcuno identificasse un problema come indecidibile in un caso in cui quel problema non ha alcuna relazione nota con l'autoreferenziazione della TM o un argomento di tipo Godeling. Se il meglio che possiamo fare è "l'abbiamo capito molto tempo fa, poi ci siamo resi conto che è più facile dimostrarlo in un altro modo", che in un certo senso sarebbe una risposta - le tre tecniche sopra spiegano fondamentalmente tutte le prove di indecidibilità di cui siamo a conoscenza.

— templatetypedef,

La funzione di castoro occupato cresce troppo velocemente per essere calcolata da qualsiasi programma. Concretamente, è possibile definire una funzione come una più il numero più grande calcolato da un programma di lunghezza al massimo . Conta come diagonalizzazione?

f (n)

$f(n)$

n

$n$

— Yuval Filmus,

@YuvalFilmus Forse sto diventando troppo severo qui, ma per me suona come un argomento di tipo diagonale: stai costruendo una funzione che è definita diversa da tutte le funzioni calcolate dalle TM.

— templatetypedef

Risposte:

Sì, ci sono tali prove. Si basano sul teorema della base bassa .

Vedi questa risposta a Esistono prove dell'indecidibilità del problema di arresto che non dipende dall'autoreferenziazione o dalla diagonalizzazione? domanda su cstheory per di più.

— Kaveh
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Se qualcuno è interessato a tecniche avanzate nella teoria della computabilità, dai un'occhiata ai libri di Robert I. Soare Insiemi e gradi ricorsivamente enumerabili e Teoria e applicazioni della computabilità .

— Kaveh,

Correggimi se sbaglio, ma la prova del teorema della base bassa non implica l'applicazione di un funzionale a se stesso e la domanda se non produce un valore? Se è così, non è solo uno strato di riferimento indiretto sopra un argomento diagonale?

— templatetypedef

@templatetypedef, non sono un esperto, ma per quanto ne so no. Vedi ad esempio pagina 109 nel libro di Soare.

— Kaveh,

@templatetypedef, ps1: c'è qualche vaghezza nella domanda su ciò che consideriamo la diagonalizzazione. Se non stiamo attenti, possiamo espandere quella che consideriamo diagonalizzazione ogni volta che vediamo qualcosa che non lo era. Prendi ad esempio metodi prioritari o qualsiasi metodo generale per costruire oggetti parte per parte in modo da evitare di essere uguale a qualsiasi oggetto di una determinata classe.

— Kaveh,

@ David, :) Apro la pagina dal libro che voglio condividere, faccio clic sul pulsante di condivisione in alto e rimuovo i parametri tranne il ide pgdal link.

— Kaveh,

questa non è esattamente una risposta affermativa, ma un tentativo di qualcosa vicino a ciò che viene richiesto attraverso un angolo creativo. ora ci sono alcuni problemi in fisica che sono "molto distanti" dalle formulazioni matematiche / teoriche di indecidibilità, e sembrano sempre più "remote" da e "hanno poca somiglianza con" le formulazioni originali che implicano l'arresto del problema ecc .; ovviamente usano il problema dell'arresto alla radice, ma le catene del ragionamento sono diventate sempre più distanti e hanno anche un forte aspetto / natura "applicato". sfortunatamente non sembrano esserci ancora grandi sondaggi in questo settore. un recente problema che è stato "sorprendentemente" dimostrato indecidibile in fisica che ha attirato molta attenzione:

Indecidibilità del gap spettrale / Cubitt, Perez-Garcia, Wolf

Il divario spettrale - la differenza di energia tra lo stato fondamentale e il primo stato eccitato di un sistema - è fondamentale per la fisica quantistica dei molti corpi. Molti difficili problemi aperti, come la congettura di Haldane, la questione dell'esistenza di fasi liquide di spin topologico con gap e la congettura del gap Yang-Mills riguardano lacune spettrali. Questi e altri problemi sono casi particolari del problema del gap spettrale generale: dato l'hamiltoniano di un sistema quantico a molti corpi, è vuoto o senza gap? Qui dimostriamo che questo è un problema indecidibile. In particolare, costruiamo famiglie di sistemi di spin quantici su un reticolo bidimensionale con interazioni invarianti, il più vicino vicino traslazionalmente, per le quali il problema del gap spettrale è indecidibile. Questo risultato si estende all'indecidibilità di altre proprietà a bassa energia,

quello che sembra osservare nella domanda è che le prove (informalmente) di indecidibilità hanno tutte una certa struttura "autoreferenziale", e questo è stato formalmente provato in matematica ancora più avanzata, in modo che sia il problema di Turing che il teorema di Godels possano essere visti come esempi dello stesso fenomeno di base. vedi ad esempio:

Arresto del problema, insiemi incontestabili: comune prova matematica?

Il teorema di arresto, il teorema di Cantor (il non isomorfismo di un insieme e il suo set di potenze) e il teorema di incompletezza di Goedel sono tutti esempi del teorema del punto fisso di Lawvere, che dice che per ogni categoria chiusa cartesiana, se esiste una mappa epimorfa e: A → (A⇒B) quindi ogni f: B → B ha un punto fisso.

c'è anche una lunga meditazione su questo tema dell'interconnessione (intrinseca?) di autoreferenzialità e indecidibilità nei libri di Hofstadter. un'altra area in cui i risultati di indecidibilità sono comuni e inizialmente erano un po '"sorprendenti" è con i fenomeni frattali. l'apparizione / significato trasversali di fenomeni indecidibili attraverso la natura è quasi un principio fisico riconosciuto a questo punto, osservato per la prima volta da Wolfram come "principio di equivalenza computazionale" .

— VZN
fonte

altre aree "sorprendenti / applicate" di indecidibilità: tetti aperiodici , eventuale stabilizzazione nel gioco della vita conway ( automi cellulari )

— vzn

La mia comprensione è che le prove che tutti questi problemi sono indecidibili si riducono a riduzioni del problema di arresto. È sbagliato?

— templatetypedef

la risposta fondamentalmente ammette che (tutti i risultati di indecidibilità noti possono essere ridotti al problema di arresto). la tua domanda è quasi formulata come una congettura, e non sono a conoscenza di alcuna conoscenza contrastante ad essa, e vede molte prove circostanziali a suo favore. ma il più vicino a una prova formale nota è apparentemente le formulazioni a virgola fissa di indecidibilità (non sembrano esserci altre formulazioni formali di "autoreferenziale"). Un altro modo di dire tutto è che la completezza e l'indecidibilità di Turing sono due punti di vista essenzialmente dello stesso fenomeno.

— vzn,