Arresto del problema, insiemi incontestabili: comune prova matematica?

È noto che con un insieme numerabile di algoritmi (caratterizzato da un numero di Gödel), non possiamo calcolare (costruire un algoritmo binario che controlla l'appartenenza) tutti i sottoinsiemi di N.

Una prova potrebbe essere riassunta come: se potessimo, allora l'insieme di tutti i sottoinsiemi di N sarebbe numerabile (potremmo associare a ciascun sottoinsieme il numero di Gödel dell'algoritmo che lo calcola). Poiché questo è falso, dimostra il risultato.

Questa è una prova che mi piace in quanto mostra che il problema è equivalente al fatto che i sottoinsiemi di N non sono numerabili.

Ora vorrei dimostrare che il problema dell'arresto non è risolvibile utilizzando solo lo stesso risultato (innumerevoli sottogruppi N), perché immagino che si tratti di un problema molto vicino. È possibile provarlo in questo modo?

computability halting-problem

— Weier
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Chiaramente entrambi i risultati possono essere dimostrati usando la stessa tecnica (diagonalizzazione). Tuttavia, non penso che sia possibile dimostrare l'indecidibilità del problema di arresto semplicemente usando l'incountabilità della famiglia di sottoinsiemi di ℕ, perché il primo riguarda il confronto tra RE e R , entrambi i quali sono famiglie numerabili di sottoinsiemi di ℕ.

— Tsuyoshi Ito,

Esistono solo molti programmi con accesso all'oracolo di arresto, sempre caratterizzato da un numero Godel. Tuttavia, il problema di arresto è tra questo insieme numerabile.

— David Harris,

Il teorema di arresto, il teorema di Cantor (il non isomorfismo di un insieme e il suo set di potenze) e il teorema di incompletezza di Goedel sono tutti esempi del teorema del punto fisso di Lawvere, che dice che per ogni categoria chiusa cartesiana, se esiste una mappa epimorfa quindi ogni ha un punto fisso. $e : A \to (A \Rightarrow B)$ $f : B \to B$

Lawvere, F. William. Argomenti diagonali e categorie chiuse cartesiane . Dispense in Matematica, 92 (1969), 134-145.

Per una bella introduzione a queste idee, vedi questo post sul blog di Andrej Bauer .

— Neel Krishnaswami
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è abbastanza pulito. Non mi rendevo conto che c'era un vero argomento formale che li unificava.

— Suresh Venkat,

Ormai ho imparato a sospettare che, se sembra lo stesso e ha lo stesso odore, c'è un argomento categorico sul senso in cui è lo stesso.

— Vijay D,

IMO, le due cose veramente belle del teorema di Lawvere è che (a) è un'affermazione positiva, piuttosto che negativa, e (b) la dimostrazione è una mezza dozzina di righe di semplici calcoli lambda.

— Neel Krishnaswami,

Mentre leggevo la domanda, ho pensato a me stesso che qualcuno dovrebbe menzionare il teorema del punto fisso di Lawvere. Immagina la mia gioia quando leggo la risposta :-)

— Andrej Bauer

Essere epimorfici non è la condizione giusta. È necessaria la suriettività del punto, che non implica né è implicita dalla condizione di essere epimorfica. Vedi Nota 2.3 ncatlab.org/nlab/show/Lawvere%27s+fixed+point+theorem

— fhyve