L'identità polinomiale testare su espressioni * aritmetiche * è banale?

Test identità polinomio è l'esempio standard di un problema noto per essere in co-RP ma non noto per essere in P . Sui circuiti aritmetici , sembra davvero difficile, poiché il grado del polinomio può essere reso esponenzialmente ampio ripetendo la quadratura. Questa domanda affronta il problema di come aggirare questo problema e mantenerlo in tempi polinomiali randomizzati.

D'altra parte, quando il problema viene inizialmente presentato (ad esempio qui ), viene spesso illustrato su espressioni aritmetiche contenenti solo costanti, variabili, addizioni e moltiplicazioni. Tali polinomi hanno un grado totale al massimo polinomiale nella lunghezza dell'espressione di input e per ogni polinomio la dimensione del valore di output è polinomiale nella dimensione dei valori di input. Ma da un polinomio di laurea$d$ ha al massimo $d$radici, non è banale? Basta valutare il polinomio sopra i razionali in qualsiasi $d + 1$punti distinti e controlla se il risultato è zero in ciascun punto. Questo dovrebbe richiedere solo tempo polinomiale. È corretto? In tal caso, perché le espressioni aritmetiche senza sottoespressioni condivise vengono spesso utilizzate come esempi, quando la condivisione è essenziale per la difficoltà del problema?

Non è noto per essere banale .

Il polinomio$x \cdot y$Ha infinite radici. (Quando una delle variabili è zero, l'altra variabile non influirà sul valore del polinomio.)

Per un polinomio univariato$p(x)$, sì, è così facile.

Per un polinomio multivariato$p(x_1,x_2,\dots,x_k)$, no, nessun algoritmo di questo tipo funziona.

In particolare, quando scrivi "un polinomio di laurea $d$ ha al massimo $d$ radici ", questo è vero per i polinomi univariati $p(x)$, ma non è vero in generale per i polinomi multivariati. Ricky Demer fornisce un semplice esempio:$p(x,y) = xy$ è di secondo grado, ma ha infinitamente molte radici.

ecco un modo più generale / astratto per comprendere il significato / la durezza dei test di identità polinomiale in CS. uno dei motivi per cui il test di identità polinomiale è attualmente oggetto di intensi studi perché è noto da tempo che è strettamente legato alla complessità del circuito booleano. immagina di prendere due circuiti booleani arbitrari e poi di convertirli (cioè fondamentalmente impostando una mappatura 1-1) in polinomi multivariati. questo non è così difficile. fondamentalmente si usano i valori di 0/1 per rappresentare false / true e le costruzioni sono allestite in vecchi documenti. quindi le radici del polinomio corrispondono alle assegnazioni di variabili T / F che soddisfano le formule / i circuiti.

dopo questa configurazione, PIT è praticamente lo stesso problema di determinare se due circuiti binari sono equivalenti. ci sono anche altre (più recenti) prove profonde che dicono che sono quasi equivalenti in termini di complessità ai polinomi di factoring. [ 1 ] quindi si finisce con un risultato come il seguente: se si può risolvere il PIT "rapidamente" significa che due grandi circuiti possono essere confrontato per equivalenza "rapidamente" che è improbabile. quindi un modo approssimativo per comprendere il problema è che è quasi equivalente a problemi non banali nella teoria dei circuiti booleani.