Base minima per set di vettori binari che utilizzano XOR

Sarei sorpreso se questo non è un problema ben studiato, ma non sono sicuro di cos'altro cercare a questo punto: ti viene dato un set di binari $n$-vettori $S \subset \{0,1\}^n$. Il problema è trovare un altro set di binari$n$-vettori $B \subset \{0,1\}^n$, con dimensioni minime $|B|$, tale che ogni vettore in $S$ può essere espresso dai risultati XOR di alcuni sottogruppi di $B$ (così $B$ è essenzialmente una base per $S$ usando XOR invece di addizione e consentendo solo coefficienti binari nella combinazione lineare).

In un certo senso, questa è una forma di PCA per i vettori binari. Durante la ricerca di letteratura su questo problema, mi sono imbattuto nel Problema di base discreto discusso anche in questa tesi di dottorato , che sembra strettamente correlata. Invece di XOR usa OR, e qui$|B|$ è un ulteriore input (e il compito è minimizzare l'errore nella rappresentazione $S$ con vettori da $B$). Questo problema è NP-difficile. Lo stesso vale per il problema che ho presentato sopra o esiste una soluzione efficace? Qualsiasi suggerimento per la letteratura esistente sarebbe molto apprezzato.

Se tratti i tuoi vettori come sul campo $GF(2)$ piuttosto che sul set $\{0,1\}$, quindi quello che chiedi è trovare una base per l'arco di un insieme di vettori. Questo è un problema ben studiato nell'algebra lineare, per cui probabilmente conosci la soluzione. (Un'opzione è l'eliminazione gaussiana.)