Mucchio combinabile casuale - Altezza prevista

I cumuli casuali combinabili hanno un'operazione "fusione", che usiamo per definire tutte le altre operazioni, incluso l'inserimento.

La domanda è: qual è l'altezza prevista di quell'albero con nodi? $n$

Il teorema 1 di Gambin e Malinkowski, Code di priorità caseabili combinabili (Atti del SOFSEM 1998, Lecture Notes in Computer Science vol. 1521, pp. 344–349, 1998; PDF ) fornisce una risposta a questa domanda con prove. Tuttavia, non capisco perché possiamo scrivere:

E [h_{Q}] = \frac{1}{2} ((1 + E [h_{Q_{L}}]) + (1 + E [h_{Q_{R}}])) .

$\mathbb{E} [ h_Q] = \frac{1}{2} ((1 + \mathbb{E}[h_{Q_L}]) + (1 + \mathbb{E}[h_{Q_R}]))\,.$

Per me l'altezza dell'albero è

h_{Q} = 1 + max {h_{Q_{L}}, h_{Q_{R}}},

$h_Q = 1 + \max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\}\,,$

che posso espandere a:

E [h_{Q}] = 1 + E [max {h_{Q_{L}}, h_{Q_{R}}}] = 1 + \sum k P [max {h_{Q_{L}}, h_{Q_{R}}} = k] .

$\mathbb{E} [ h_Q] = 1 + \mathbb{E}[\max \,\{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\}] = 1 + \sum k \mathbb{P}[\max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\} = k]\,.$

La probabilità che il massimo di un'altezza di due sottotitoli sia uguale a può essere riscritta usando la legge della probabilità totale: $k$

\begin{aligned} P [max {h_{Q_{L}}, h_{Q_{R}}} = k] \\ = P [max {h_{Q_{L}}, h_{Q_{R}}} = k ∣ h_{Q_{L}} \leq h_{Q_{R}}] P [h_{Q_{L}} \leq h_{Q_{R}}] \\ + P [max {h_{Q_{L}}, h_{Q_{R}}} = k ∣ h_{Q_{L}} > h_{Q_{R}}] P [h_{Q_{L}} > h_{Q_{R}}] \\ = P [h_{Q_{R}} = k ∣ h_{Q_{L}} \leq h_{Q_{R}}] P [h_{Q_{L}} \leq h_{Q_{R}}] \\ + P [h_{Q_{L}} = k ∣ h_{Q_{L}} > h_{Q_{R}}] P [h_{Q_{L}} > h_{Q_{R}}] . \end{aligned}

$\begin{align*} \hspace{2em}&\hspace{-2em} \mathbb{P}[\max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\} = k] \\ &= \mathbb{P}[\max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\} = k \mid h_{Q_L}\leq h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\\ &\hspace{2em} + \mathbb{P}[\max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\} = k \mid h_{Q_L} > h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} > h_{Q_R}] \\ &= \mathbb{P}[h_{Q_R} = k \mid h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\\ &\hspace{2em}+ \mathbb{P}[h_{Q_L} = k \mid h_{Q_L} > h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} > h_{Q_R}]\,. \end{align*}$

Quindi alla fine ottengo:

\begin{aligned} E [h_{Q}] & = 1 + \sum k {P [h_{Q_{R}} = k ∣ h_{Q_{L}} \leq h_{Q_{R}}] P [h_{Q_{L}} \leq h_{Q_{R}}] \\ + P [h_{Q_{L}} = k ∣ h_{Q_{L}} > h_{Q_{R}}] P [h_{Q_{L}} > h_{Q_{R}}]} . \end{aligned}

$\begin{align*}\mathbb{E} [ h_Q] &= 1 + \sum k \{ \mathbb{P}[h_{Q_R} = k \mid h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\\ &\hspace{2em}+ \mathbb{P}[h_{Q_L} = k \mid h_{Q_L} > h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} > h_{Q_R}] \}\,. \end{align*}$

Questo è dove sono bloccato. Vedo che è più o meno uguale (Tuttavia abbiamo bisogno al massimo ) . Ma tranne che nulla porta alla formula dall'inizio. $\mathbb{P}[h_{Q_L} > h_{Q_R}]$ $\frac{1}{2}$ $\leq \frac{1}{2}$

Le altezze dei sottotetti non sembrano essere indipendenti per me.

Grazie per l'aiuto.

— Mateusz Wyszyński
fonte

Nel documento, non è l'altezza. È la lunghezza di una camminata casuale a partire dalla radice in un albero binario completo (insistono sul fatto che ogni foglia è "nulla"), quindi l'espressione che hanno è la cosa giusta. $h_Q$

Inoltre, puoi evitare l'induzione. La probabilità di terminare su una foglia specifica della profondità è solo . Quindi la lunghezza prevista della camminata è $d$ $2^{-d}$

\sum_{ℓ \in leaves (Q)} depth (ℓ) 2^{- depth (ℓ)}

$\sum_{\ell\in \text{leaves}(Q)} \text{depth}(\ell)2^{-\text{depth}(\ell)}$

quale l'entropia di una distribuzione un insieme di dimensioni. $|\text{leaves}(Q)|$

— Louis
fonte

Potresti spiegare in modo più dettagliato perché non devo usare l'induzione? Sono d'accordo con la formula per la lunghezza prevista. Semplicemente non vedo perché dovrebbe essere O (logn)? Cosa intendi con entropia di una distribuzione su stringhe?

— Mateusz Wyszyński,

Poiché l'entropia di una distribuzione su un insieme di dimensioni è ben nota per essere massimizzata da una distribuzione uniforme, nel qual caso è .

n

$n$

\log n

$\log n$

— Louis,