Versione costruttiva della decidibilità?

Oggi a pranzo, ho sollevato questo problema con i miei colleghi e, con mia sorpresa, l'argomento di Jeff E. secondo cui il problema è decidibile non li ha convinti ( ecco un post strettamente correlato su mathoverflow). Un'affermazione del problema che è più facile da spiegare ("è P = NP?") È anche decidibile: o sì o no, e quindi una delle due TM che emettono sempre quelle risposte decide il problema. Formalmente, possiamo decidere l'insieme : o la macchina che emette solo per l'ingresso 1 e altrimenti 0 lo decide, oppure la macchina che lo fa per l'ingresso 2 .1 1 $S :=\{|\{P, NP\}|\}$$1$$1$$0$$2$

Uno di questi ha riassunto sostanzialmente questa obiezione: se questo è quanto sia debole il criterio della decidibilità - il che implica che ogni domanda che possiamo formalizzare come linguaggio che possiamo mostrare essere finiti è decidibile - allora dovremmo formalizzare un criterio che non rende alcun problema con finitamente molte risposte possibili che sono formalizzabili in questo modo decidibili. Mentre il seguente è forse un criterio più forte, ho suggerito che forse questo potrebbe essere reso preciso richiedendo che la decidibilità dovrebbe dipendere dalla capacità di mostrare una MT, fondamentalmente proponendo una visione intuizionista della materia (che non propenso a - né fare uno dei miei colleghi, tutti accettano la legge del mezzo escluso).

Le persone hanno formalizzato e forse studiato una teoria costruttiva della decidibilità?

Penso che la domanda che stai cercando di porre sia "la teoria della computabilità è costruttiva?". E questa è una domanda interessante, come puoi vedere da questa discussione sulla mailing list di Foundations of Mathematics.

Non sorprende che sia stato considerato, poiché molta teoria della ricorsione è stata sviluppata da persone con sensibilità costruttiva e viceversa. Vedi ad esempio il libro di Besson e la venerabile Introduzione alla metamatematica . È abbastanza chiaro che i primi due capitoli della teoria della ricorsione sopravvivono spostandosi in un ambiente costruttivo con cambiamenti minimi: ad esempio il teorema snm, il teorema di Rice o il teorema di ricorsione di Kleene sopravvivono invariati.

Dopo i primi capitoli, però, le cose si fanno un po 'più difficili. In particolare, i livelli più alti della gerarchia aritmetica sono generalmente definiti da una nozione di verità. In particolare, i teoremi ampiamente utilizzati come il Teorema di base bassa sembrano essere esplicitamente non costruttivi.

Forse una risposta più pragmatica, tuttavia, è che questi "linguaggi paradossalmente calcolabili" sono semplicemente un'idiosincrasia, che può (e è stata!) Studiata a lungo, come insiemi di valori non misurabili, ma che una volta che la sorpresa iniziale è stata superato, si può passare a cose più interessanti.

Nella logica classica, ogni affermazione è vera o falsa in un dato modello. Ad esempio, qualsiasi affermazione del primo ordine sui numeri naturali è vera o falsa nel "mondo reale" (noto in questo contesto come vera aritmetica ). Che dire del teorema di incompletezza di Gödel, allora? Afferma semplicemente che nessuna assiomatizzazione ricorsivamente enumerabile della vera aritmetica è completa.

Per quanto riguarda vs. , la maggior parte dei ricercatori ritiene che , alcuni che e una manciata intrattengono il convinzione che sia indipendente da (diciamo) ZFC. Supponiamo che tu sia disposto ad ammettere che in realtà non è indipendente da ZFC (allo stesso modo in cui sei disposto ad ammettere che ZFC è coerente in primo luogo). In tal caso, esiste una macchina Turing completamente esplicita che calcola la tua lingua. La macchina cerca la prova di o fino a quando non ne viene trovata una, quindi procede di conseguenza. Possiamo provareN P P ≠ N P P = N P P = N P P ≠ N $\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ che questa macchina accetta la tua lingua, anche se non sappiamo ancora quale sia esattamente quella lingua!

Se non sei disposto ad ammettere che è deciso da ZFC, puoi comunque chiedere se esiste una macchina Turing esplicita che accetta la tua lingua. Lascio questa domanda sbalorditiva al lettore interessato.$\mathsf{P} \stackrel{?}{=} \mathsf{NP}$

(dichiarazione di non responsabilità, una risposta confusa a una domanda confusa che forse si adatta meglio a cstheory ). la costruibilità è un "grosso problema" in matematica teorica, ma si manifesta soprattutto in contesti continui come il semifamato paradosso Banach-Tarski . questi paradossi generalmente non sembrano essersi presentati finora in " CS " più discreti " . quindi qual è (l'analogo / parallelo di) costruibilità in CS? la risposta non sembra così chiara. è un concetto che ha origine nella ricerca matematica più di CS e i due sembrano non essere legati troppo su questo particolare nodo "finora" .

una risposta è che la teoria della decidibilità in realtà sembra essere una variazione sulla costruibilità, ovvero è un metodo rigoroso per determinare quali set sono calcolabili che sembrano essere strettamente collegati.

la costruibilità nel cuore affronta alcune questioni di "indipendenza dallo ZFC" e quelle aree sono considerate in modo approfondito in questo documento da Aaronson wrt P vs NP, P vs NP è formalmente indipendente? .

non è realmente dimostrato che i "paradossi" sembrano puntare verso problemi di costruibilità, ma si potrebbe prenderlo come una guida approssimativa per un'analogia approssimativa come nel documento di Aaronsons dove considera ad esempio i risultati dell'oracolo che sembrano avere un sapore "paradossale" in particolare Baker Gill Solovay 1975 risultato che esistono oracoli sia tale che P ^A = NP ^A e P ^B ≠ NP ^B . altri paradossali come il thms sono il gap di Blum e i teoremi della velocità .

inoltre è solo una coincidenza che CS si concentri su funzioni costruibili "tempo / spazio" nei suoi teoremi fondamentali della gerarchia tempo / spazio? (che quindi escludono i paradossi simili a Blum quasi "di progettazione" ?)

un'altra risposta è che questo è sotto indagine / ricerca attiva, ad esempio come in questa scoperta. la costruibilità è nota per essere legata ai "grandi cardinali" in matematica: strategie vincenti per giochi infiniti: dai grandi cardinali all'informatica / Ressayre.

Usando l'ampio assioma cardinale degli "oggetti taglienti" Martin dimostrò la determinazione analitica: l'esistenza di una strategia vincente per uno dei giocatori in ogni gioco infinito di informazione perfetta tra due giocatori, a condizione che il set vincente di uno dei giocatori fosse un'analitica uno. Modifico e completa la sua prova in modo da ottenere una nuova prova del teorema di Rabin, Buechi-Landweber, Gurevich-Harrington della determinazione dello stato finito: esistenza di una strategia vincente calcolata da una macchina a stati finiti, quando i set vincenti del giocatore sono essi stessi finiti stato accettato.