Qual è la relazione tra la logica del primo ordine e la teoria del primo ordine?

Ho pensato che qualsiasi FOT sia un sottoinsieme di FOL, ma questo non sembra essere il caso, perché FOL è completo (ogni formula è valida o non valida), mentre alcuni FOT (come l'aritmetica di interi lineari) non sono completi.

Quindi, FOL è più espressivo di qualsiasi altro FOT? O incomparabile?

Inoltre, l'affermazione "ci sono affermazioni valide in LIA ma che non possono essere dimostrate usando gli assiomi di LIA" è strana. Come può essere valida la dichiarazione se non possiamo dimostrarne la validità? Ho sempre pensato che se non puoi provare la validità dell'affermazione, non puoi affermare che sia valida.

logic first-order-logic

— Ayrat
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Penso che l'affermazione "ci sono affermazioni valide in LIA ma che non possono essere dimostrate usando gli assiomi di LIA" è falsa. Il teorema di completezza di godel si assicura che un'affermazione valida possa eventualmente essere dimostrata in un tempo finito. Penso che stai confondendo la validità logica con la verità logica. Queste sono due cose diverse. Il significato di completezza usato nel teorema di completezza di godel e quello usato nel teorema di incompletezza non è lo stesso.

— Rotia,

Risposte:

Logica del primo ordine è un argomento matematico che definisce molti concetti diversi, come formula del primo ordine , la struttura del primo ordine , teoria del primo ordine , e molti altri. Uno di questi concetti è la teoria del primo ordine : è un insieme di formule del primo ordine. Spesso consideriamo la teoria del primo ordine generata da un numero finito di assiomi e schemi di assiomi. Tale teoria è chiusa rispetto alle derivazioni logiche e di solito consideriamo solo teorie che soddisfano questa condizione.

Una teoria del primo ordine è completa se per ogni affermazione , contiene o la sua negazione. Non ogni teoria è completa. In effetti, il teorema di incompletezza di Gödel evidenzia il fatto che molte interessanti teorie del primo ordine sono necessariamente incomplete. $\sigma$ $\sigma$

Un modello di una teoria del primo ordine è una valida interpretazione della teoria (lasciamo la definizione esatta per i libri di testo). Ad esempio, la teoria dei gruppi del primo ordine è costituita da tutte le affermazioni che seguono dagli assiomi di gruppo. Ogni gruppo è un modello della teoria dei gruppi del primo ordine.

Per ogni modello dato, una frase data è vera o falsa. Il teorema di completezza di Gödel afferma che se una frase del primo ordine è vera in tutti i modelli di una teoria del primo ordine, allora è provabile da un numero finito di frasi nella teoria. Ad esempio, ogni asserzione del primo ordine nella lingua dei gruppi che vale per tutti i gruppi è provabile dagli assiomi di gruppo.

La LIA è (presumibilmente) una teoria del primo ordine che è abbastanza interessante da essere incompleta a causa del teorema di incompletezza di Gödel. Tuttavia, nel modello standard - gli interi "veri" - ogni frase è vera o falsa. In particolare, se è un'affermazione tale che né né appartengono a LIA, allora o vale per i numeri interi veri, ma questo fatto non è dimostrabile in LIA. $\sigma$ $\sigma$ $\lnot \sigma$ $\sigma$ $\lnot \sigma$

— Yuval Filmus
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cosa c'è di speciale nelle teorie "complete"? perché sono interessanti? 'ovviamente', molte teorie sono incomplete, perché la def di completezza chiede se una frase è vera per tutti i modelli. Sull'incompletezza: nel "modello di numeri interi standard", non ci importa di tutti i modelli che soddisfano gli assiomi, ne abbiamo solo uno, "modello di numeri interi standard". Il teorema di incompletezza suggerisce che il modo in cui definiamo la validità (specialmente la nostra considerazione di tutti i modelli che soddisfano gli assiomi) è inappropriato?

— Ayrat,

Le teorie complete sono speciali poiché danno un valore di verità definito per ogni affermazione. Questo è qualcosa che vorresti avere. Il resto delle tue domande appartiene al regno della filosofia. Detto questo, il teorema di completezza di Gödel identifica la validità in tutti i modelli con la provabilità.

— Yuval Filmus,

non vedo ancora l'utilità - considera FOL, che è completo: supponi di voler verificare se F è valido o meno: la 'completezza' non aiuta molto se F non è valido, perché la validità di FOL è semi-decidibile. Mi manca qualcosa?

— Ayrat,

L'affermazione "la logica del primo ordine è completa" non ha senso o è falsa.

— Yuval Filmus,

Non è vero che una teoria del primo ordine è un insieme coerente di frasi del primo ordine. La cosa giusta da dire è: una teoria del primo ordine è un insieme di formule del primo ordine che è chiuso sotto deduzione. Sono in grado di formulare perfettamente una teoria incoerente. Potrebbero essere necessari anni prima di scoprire che è incoerente. E una teoria può contenere formule, non solo frasi (che sono formule chiuse).

— Andrej Bauer,

La frase "logica del primo ordine" ha due significati:

È un capitolo della logica matematica in cui studiamo alcuni tipi di sistemi formali e tutto ciò che li riguarda.
È un tipo speciale di teoria del primo ordine, vale a dire quella generata da una firma vuota e un insieme vuoto di assiomi.

La tua domanda si riferisce al secondo significato, ma per capirlo, dobbiamo costruire le cose:

C'è un certo linguaggio formale chiamato il linguaggio della logica del primo ordine . Parlando in modo informale, è il materiale che puoi costruire da variabili, uguaglianza, , , , , ed . Questa roba è nota come formule del primo ordine . $\land$ $\lor$ $\lnot$ $\Rightarrow$ $\forall$ $\exists$
Esiste un certo sistema formale chiamato logica del primo ordine che ci dice cosa significa che dimostriamo una formula del primo ordine. Il sistema viene fornito come un insieme di regole di inferenza.
Una teoria del primo ordine $\mathcal{T}$ è data da:
- una firma $\Sigma_{\mathcal{T}}$ che consiste in un insieme di costanti, simboli di funzione e simboli di relazione. Pensa a queste come estensioni del linguaggio di base della logica del primo ordine. Lo chiamiamo la lingua di $\mathcal{T}$ .
- un insieme deduttivo di formule del primo ordine scritte nella lingua estesa dalla firma.

Un insieme di formule si dice essere deduttivamente chiusa eventuale applicazione delle regole di inferenza della logica del primo ordine di formule in dà formule che sono ancora in . In altre parole, contiene tutte le sue conseguenze logiche. Un modo comune di creare una tale serie è: iniziare con una serie scelta di formule , e aggiungere ad essa tutte le sue conseguenze logiche, le conseguenze di tali conseguenze e così via. Questa è chiamata la chiusura deduttiva di . Spesso chiamiamo le formule in assiomi . $S$ $S$ $S$ $S$ $S$ $A$ $A$ $A$

Una teoria può essere o non essere completa. Non è importante sapere cosa significa "completo" qui, ma è importante sapere che può accadere quanto segue: possiamo avere due serie di formule e , tali che , la chiusura deduttiva di è un teoria completa e la chiusura deduttiva di non è una teoria completa. $A$ $B$ $A \subseteq B$ $A$ $B$

Ora siamo pronti a rispondere alla tua domanda. Sia la teoria la cui firma è vuota e il cui insieme di formule è la chiusura deduttiva dell'insieme vuoto. Sia la teoria la cui firma è quella dell'aritmetica di Peano (costante , operazione unaria , operazioni binarie e ) e le formule sono la chiusura deduttiva degli assiomi di Peano. È un dato di fatto $T$ $P$ $0$ $S$ $+$ $\times$

$T$ è contenuto in (in realtà è contenuto in ogni teoria), $P$ $T$
$T$ è completo,
$P$ non è completa.

La teoria è popolarmente chiamata "logica del primo ordine", ma in realtà è un termine improprio. Alcune persone sono un po 'più precise e la chiamano "la pura teoria della logica del primo ordine". $T$

In breve, la tua domanda ha rivelato quanto segue:

Non sapevi che la "logica del primo ordine" potrebbe riferirsi alla teoria con firma vuota generata dagli assiomi vuoti.
Una teoria completa può diventare incompleta quando la estendiamo.
Hai usato la definizione errata di completezza. La definizione corretta è: una teoria è completa se ogni frase o sua negazione è un teorema della teoria.

NB: una frase è una formula chiusa (una che non contiene variabili libere).

Infine, lasciami rispondere alla tua domanda sulla validità:

una formula è dimostrabile se ne esiste una prova
una formula è valida se è vera in ogni modello

Un meta-teorema di base sulla logica del primo ordine è che ogni formula dimostrabile è valida. Anche il contrario vale ed è noto come teorema della completezza di Gödel .

Tuttavia, capita spesso che in una situazione particolare si faccia intenzionalmente una discrepanza tra validità e provabilità per una buona ragione. Ad esempio, se limitiamo l'attenzione solo ai modelli finiti , può facilmente accadere che esistano dichiarazioni valide che non hanno prove. Perché uno dovrebbe farlo? Nell'informatica potrebbe essere per ragioni algoritmiche o perché si è interessati solo a una particolare classe di modelli.

Dici "l'unico modo per sapere che una frase è valida è provarla". Questo può essere il caso ad un livello informale (penso che Dio non sarebbe d'accordo con te), ma nota che tale prova di validità avviene al di fuori della teoria, a livello meta. In effetti, poiché stabilire la validità richiede di parlare di tutti i modelli, questo non è certamente qualcosa che ci aspetteremmo di eseguire all'interno della teoria.

— Andrej Bauer
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Sembra che ti sia confuso il teorema di completezza di Godel e i teoremi di incompletezza di Godel. Quello che tu chiami "teorema di incompletezza di Godel" sembra essere una diretta negazione del teorema di completezza di Godel. Il primo teorema di incompletezza di Godel riguarda frasi che non possono essere né dimostrate né smentite, non frasi valide ma non dimostrabili.

— user2357112 supporta Monica il

Grazie, ho appena cancellato quel bit perché non aggiunge nulla alla spiegazione.

— Andrej Bauer,

@AndrejBauer potresti chiarire il seguente 'paradosso' con "1.

T

$T$ è contenuto in

P

$P$ " ? : Da

P

$P$ è incompleto quindi esiste

s

$s$ tale che

s \notin P

$s \not\in P$ e

\neg s \notin P

$\neg s \not\in P$ . Ora chiedi "

s \in T

$s \in T$ "? Da

T \subset P

$T \subset P$ (chiusure deduttive dei loro assiomi), quindi dovrebbero esserci entrambi

s \in T

$s \in T$ o

\neg s \in T

$\neg s \in T$ , ma entrambi violano il presupposto dell'esistenza di tale

s

$s$ !

— Ayrat

un'altra domanda: hai un esempio di dichiarazione valida che non ha una prova?

— Ayrat,

Un piccolo chiarimento:

Potresti pensare che la teoria con firma vuota sia una teoria vuota, cioè non contenga formule chiuse. Questo non è corretto La logica del primo ordine consente di provare - senza fare appello agli assiomi - alcune formule chiuse note come tautologie. Questi sono "veri" solo per la loro forma; non hanno contenuti significativi in quanto tali. Il Teorema della completezza di Godel afferma quindi che la raccolta di tautologie è completa - vale a dire, tutte le formule chiuse che sono valide (cioè "vere in tutti i modelli") sono in realtà derivabili nella logica del primo ordine. [La prova è interessante e decisamente non banale.]

— PMAR
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