Fornire un esempio preciso nell'analisi dell'algoritmo di approssimazione

Diciamo che ho trovato un algoritmo di approssimazione 2 per un certo problema e voglio dimostrare che l'analisi è stretta.

Devo ora trovare un esempio di dimensione generica o è sufficiente dimostrare che ho un esempio di dimensione per cui l'algoritmo produce ?$n$$10$$2OPT$

Dipende dalla definizione del rapporto di approssimazione. Normalmente il rapporto di approssimazione è definito come il peggior rapporto tra la soluzione ottimale e quella prodotta dal tuo algoritmo. In questo caso, tutto ciò che serve per dimostrare che il rapporto è stretto viene fornito con un cattivo esempio.

A volte, tuttavia, provi qualcosa come . Ciò significa che il rapporto di approssimazione è in realtà . Per dimostrare che questo è stretto, avrai bisogno di un esempio per infinitamente molte dimensioni (ma non necessariamente per una dimensione generica ; forse tutti i tuoi esempi hanno dimensioni pari).$ALG \leq 2OPT + 1$$2 + o(1)$

Se il tuo algoritmo raggiunge un'approssimazione di 1,5 su tutti tranne un insieme finito di istanze, su cui l'algoritmo raggiunge un'approssimazione 2, allora potresti "migliorare" l'algoritmo "cablando" le soluzioni ottimali per le istanze in nel tuo algoritmo . In breve, per scopi teorici, un algoritmo che ha successo su tutti tranne un insieme finito di istanze è buono quanto un algoritmo che ha sempre successo. Pertanto, un esempio stretto teoricamente significativo è in realtà una famiglia infinita di esempi ristretti. Come dice Yuval, qualsiasi infinita famiglia di esempi farà, non è necessario un esempio per ogni dimensione di istanza.$S$$S$

Detto questo, la maggior parte dei problemi consente di "ridimensionare" un piccolo esempio in uno più grande.