Caratterizzazione di termini lambda che hanno tipi di unione

Molti libri di testo trattano i tipi di intersezione nel calcolo lambda. Le regole di digitazione per l'intersezione possono essere definite come segue (in cima al calcolo lambda semplicemente digitato con sottotipo):

\frac{Γ ⊢ M : T_{1} Γ ⊢ M : T_{2}}{Γ ⊢ M : T_{1} \land T_{2}} (\land io) \frac{}{Γ ⊢ M : ⊤} (⊤ io)

$\dfrac{\Gamma \vdash M : T_1 \quad \Gamma \vdash M : T_2} {\Gamma \vdash M : T_1 \wedge T_2} (\wedge I) \qquad\qquad \dfrac{} {\Gamma \vdash M : \top} (\top I)$

I tipi di intersezione hanno proprietà interessanti rispetto alla normalizzazione:

Un termine lambda può essere digitato senza usare la regola $\top I$ se è fortemente normalizzato.
Un termine lambda ammette un tipo che non contiene $\top$ iff ha una forma normale.

E se invece di aggiungere intersezioni, aggiungessimo i sindacati?

\frac{Γ ⊢ M : T_{1}}{Γ ⊢ M : T_{1} \lor T_{2}} (\lor {io}_{1}) \frac{Γ ⊢ M : T_{2}}{Γ ⊢ M : T_{1} \lor T_{2}} (\lor {io}_{2})

$\dfrac{\Gamma \vdash M : T_1} {\Gamma \vdash M : T_1 \vee T_2} (\vee I_1) \qquad\qquad \dfrac{\Gamma \vdash M : T_2} {\Gamma \vdash M : T_1 \vee T_2} (\vee I_2)$

Il lambda-calcolo con tipi semplici, sottotipi e unioni ha qualche proprietà simile interessante? Come si possono caratterizzare i termini tipizzabili con unione?

lambda-calculus type-theory logic

— Gilles 'SO- smetti di essere malvagio'
fonte

Domanda interessante. Potresti dire che le interfacce di OOP corrispondono a questo?

— Raffaello

Forse potresti essere interessato a questo cs.cmu.edu/~rwh/courses/refinements/papers/Barbaneraetal95/…

— Fabio F.

Risposte:

Nel primo sistema, ciò che chiamate sottotipo sono queste due regole:

\frac{Γ, X : T_{1} ⊢ M : S}{Γ, X : T_{1} \land T_{2} ⊢ M : S} (\land E_{1}) \frac{Γ, X : T_{2} ⊢ M : S}{Γ, X : T_{1} \land T_{2} ⊢ M : S} (\land E_{2})

$\dfrac{Γ, x:T_1 \vdash M:S}{Γ, x:T_1 ∧ T_2 \vdash M:S}(∧E_1)\quad\dfrac{Γ, x:T_2 \vdash M:S}{Γ, x:T_1 ∧ T_2 \vdash M:S}(∧E_2)$

Corrispondono alle regole di eliminazione per ; senza di essi il connettivo è più o meno inutile. $∧$ $∧$

Nel secondo sistema (con i connettivi e , a cui potremmo anche aggiungere un ), le regole di sottotipizzazione sopra riportate sono irrilevanti e penso che le regole di accompagnamento che avevi in mente siano le seguenti: $∨$ $→$ $⊥$

\frac{Γ, X : T_{1} ⊢ M : S Γ, X : T_{2} ⊢ M : S}{Γ, X : T_{1} \lor T_{2} ⊢ M : S} (\lor E) \frac{}{Γ, X : ⊥ ⊢ M : S} (⊥ E)

$\dfrac{Γ, x: T_1 \vdash M:S\quad Γ, x:T_2 \vdash M:S}{Γ, x:T_1 ∨ T_2 \vdash M:S}(∨E)\quad\dfrac{}{Γ, x: {⊥} \vdash M:S}({⊥}E)$

Per quello che vale, questo sistema consente di digitare (usando la regola ), che non può essere digitato solo con tipi semplici, che ha una forma normale, ma non è fortemente normalizzante. $(λx. I)Ω:A→A$ ${⊥}E$

Pensieri casuali: (forse vale la pena chiedere a TCS)

Questo mi porta a ipotizzare che le proprietà correlate siano simili a:

un termine λ ammette un tipo che non contiene iff ha una forma normale per tutte le che ha una forma normale. ( fallisce entrambi i test, ma il precedente termine λ li supera) $M$ $⊥$ $MN$ $N$ $δ$
un termine λ può essere digitato senza usare la regola se è fortemente normalizzante per tutti fortemente normalizzante . $M$ ${⊥}E$ $MN$ $N$

Esercizio: dimostrami che mi sbaglio.

Inoltre sembra essere un caso degenerato, forse dovremmo considerare di aggiungere questo ragazzo alla foto. Per quanto mi ricordo, consentirebbe di ottenere ? $A ∨ (A → {⊥})$

— Stéphane Gimenez
fonte

Un buon punto sulle regole del sottotipo, mostrano che i tipi di unione non sono così naturali come le intersezioni (che vengono digitate ortogonalmente alle frecce). Per quanto riguarda la seconda parte, devo pensarci ancora.

— Gilles 'SO- smetti di essere malvagio' il

Penso che

risponda all'esercizio, se si parla di tipi di unione.

M = (λ x . x x) (λ y . y)

$M=(\lambda x.xx)(\lambda y.y)$

— jmad

A proposito di call / cc: ha bisogno di qualcosa di più dei semplici termini lambda (come i termini lambda-mu o un altro framework) ma i sistemi di tipo sono sistemi logici più complessi, in cui i tipi di unione possono essere irrilevanti.

— jmad

@jmad: In effetti, i tipi di intersezione sono necessari per digitare questo termine :-( Forse considerare i sindacati e le intersezioni insieme sarebbe interessante?

— Stéphane Gimenez

Sarei interessato a un termine λ che si possa scrivere con tipi di unione (rs. Con tipi di intersezione) ma non con tipi semplici (rs. Con tipi di intersezione).

— jmad

Voglio solo spiegare perché i tipi di intersezione sono adatti per caratterizzare le classi di normalizzazione (forte, testa o debole), mentre altri sistemi di tipo non possono. (digitato semplicemente o sistema F).

La differenza fondamentale è che devi dire: "se riesco a digitare e allora posso digitare ". Questo non è spesso vero nei tipi non di intersezione perché un termine può essere duplicato: $M_2$ $M_1→M_2$ $M_1$

(λ X . M X X) N \to M N N

$(\lambda x.Mxx)N → MNN$

e quindi digitando significa che è possibile digitare entrambe le occorrenze di ma non con lo stesso tipo, ad esempio $MNN$ $N$ Con i tipi di intersezione è possibile trasformarlo in:

M : T_{1} \to T_{2} \to T_{3} N : T_{1} N : T_{2}

$M:T_1→T_2→T_3 \qquad N:T_1 \qquad N:T_2$

e quindi il passaggio cruciale ora è davvero semplice:

M : T_{1} \land T_{2} \to T_{1} \land T_{2} \to T_{3} N : T_{1} \land T_{2}

$M:T_1\wedge T_2→T_1\wedge T_2→T_3 \qquad N:T_1\wedge T_2$

così

può essere digitato con tipi di intersezione.

(λ X . M X X) : T_{1} \land T_{2} \to T_{3} N : T_{1} \land T_{2}

$(\lambda x.Mxx):T_1\wedge T_2→T_3 \qquad N:T_1\wedge T_2$

(λ x . M x x) N

$(\lambda x.Mxx)N$

$(\lambda x.xx)(\lambda y.y)$ $\lambda x.xx$ $S, T_1, \dots$

X : T_{1} \lor T_{2} \lor \dots \lor T_{n} ⊢ X X : S

$x : T_1\vee T_2 \vee \dots \vee T_n ⊢xx:S$

i

$i$

x : T_{i} ⊢ x x : S

$x:T_i⊢xx:S$

S

$S$

Questo è il motivo per cui non penso che ci sia una facile caratterizzazione della normalizzazione per i tipi di unione.

— jmad
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