Problemi congetturati ma non dimostrati facili

Abbiamo molti problemi, come la fattorizzazione, che sono fortemente congetturati, ma non provati, al di fuori di P. Ci sono domande con la proprietà opposta, vale a dire, che sono fortemente congetturati ma che non hanno dimostrato di essere all'interno di P?

complexity-theory polynomial-time

— Elliot Gorokhovsky
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Una richiesta di riferimento come la tua è troppo ampia per Stack Exchange: chiedi un sondaggio su un'intera area di ricerca! È necessario restringere notevolmente la messa a fuoco prima che appaia una domanda di portata ragionevole. Prova a parlare con il / i tuo / i consulente / i, cerca con Google Scholar e consulta questa guida per migliorare (ri) ricerche su Academia .

— Raffaello

Non abbiamo una politica rigorosa per le domande dell'elenco, ma c'è una antipatia generale . Si prega di notare anche questa e questa discussione; potresti voler migliorare la tua domanda per evitare i problemi spiegati lì. Se non sei sicuro di come migliorare la tua domanda, forse possiamo aiutarti nella chat di informatica ?

— Raffaello

Intendi problemi in cui nessuno sa se sono dentro o fuori P?

— Trilarion,

Ci sono problemi di questo genere in alcune sottoclassi di grafici; Proverò ad aggiungere una risposta più tardi.

— Juho,

@Juho Sarei interessato a vedere la tua risposta

— Elliot Gorokhovsky,

Risposte:

Due decenni fa, una delle risposte plausibili sarebbe stata il test di primalità : c'erano algoritmi che correvano in un tempo polinomiale randomizzato e algoritmi che correvano in un tempo polinomiale deterministico sotto una plausibile congettura teorica dei numeri, ma nessun noto algoritmo deterministico del tempo polinomiale. Nel 2002, ciò è cambiato con un risultato rivoluzionario di Agrawal, Kayal e Saxena secondo cui il test di primalità è in P. Quindi, non possiamo più usare questo esempio.

Vorrei mettere il test di identità polinomiale come esempio di un problema che ha buone probabilità di essere in P, ma dove nessuno è stato in grado di dimostrarlo. Conosciamo algoritmi randomizzati a tempo polinomiale per test di identità polinomiale, ma nessun algoritmo deterministico. Tuttavia, ci sono ragioni plausibili per credere che gli algoritmi randomizzati possano essere derandomizzati.

Ad esempio, nella crittografia si ritiene fortemente che esistano generatori pseudocasuali altamente sicuri (ad esempio, AES-CTR è un candidato ragionevole). E se questo è vero, allora il test di identità polinomiale dovrebbe essere in P. (Ad esempio, usa un seme fisso, applica il generatore pseudocasuale e usa il suo output al posto di bit casuali; ci vorrebbe un'enorme cospirazione per fallire. ) Questo può essere reso formale usando il modello di oracolo casuale; se abbiamo funzioni di hash che possono essere opportunamente modellate dal modello di Oracle casuale, ne consegue che esiste un algoritmo deterministico di tempo polinomiale per il test di identità polinomiale.

Per una maggiore elaborazione di questo argomento, vedere anche la mia risposta su un argomento correlato e i miei commenti su una domanda correlata .

— DW
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È una domanda difficile, perché non c'è consenso. Ci sono ancora persone che ipotizzano che . $P=NP$

Ma nella mia mente, il problema più notevole con una congettura significativa che è in è Isomorfismo grafico $P$

Ma, ancora una volta, nessuno lo sa davvero.

In generale, la "congettura che è in " sarà rara. Noi ipotizziamo che un problema sia in se non abbiamo già un algoritmo temporale polinomiale per esso. Ma non riuscire a trovare un algoritmo per esso, dopo tutti questi anni, probabilmente verrà visto più come "prova" che il problema è difficile, non facile. $P$ $P$ $P$

— jmite
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Pensavo che l'isomorfismo grafico fosse ben stretto nel vicino NP-C?

— John Dvorak,

@JanDvorak mathoverflow.net/questions/223420/…

— xavierm02

Come lieve generalizzazione, anche l' isomorfismo di gruppo non è noto per essere in ! è noto per essere al massimo quasipolinomiale, come lo è ora l'isomorfismo grafico (grazie a Babai).

P

$\mathsf P$

— wchargin,

Anche se non sono nemmeno vicino ad essere un esperto nel campo, suppongo che il problema infallibile sia creduto in P. È noto per essere in , e ci sono algoritmi subexponential per questo . Più specificamente, esiste un algoritmo che funziona , dove è il numero di incroci, vedere qui . Si noti che un'altra risposta indica anche la fede nel problema unknotting giace in . $\sf NP\cap coNP$ $e^{O(\sqrt{n})}$ $n$ $\sf P$

— Wojowu
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\cap

$\cap$

e^{\sqrt{n}}

$e^{\sqrt{n}}$

@DW Potresti dare un esempio di tale problema che si ritiene sia esterno a P? Non ne conosco nessuno.

— Wojowu,

Sicuro: factoring, registro discreto. Oppure, trovare un equilibirio Nash approssimativo di una partita a due giocatori, e altri (vedi questo commento di Scott Aaronson ). Oppure, GapCVP , la versione gap del problema del vettore più vicino per i reticoli, con parametri appropriati.

— DW

en.wikipedia.org/wiki/… : "È noto che si trova sia in NP che in co-NP. Questo perché [...]"

— DW

@DW Ah, è proprio vero. Vedo ora come ciò invalida la mia risposta. Penso che lo lascerò comunque, ma grazie per chiarire le cose!

— Wojowu,