Cos'è l'equivalenza beta?

Nello script che sto leggendo sul calcolo lambda, l'equivalenza beta è definita come questa:

Il -equivalence è l'equivalenza più piccolo che contiene .≡ β → $\beta$$\equiv_\beta$$\rightarrow_\beta$

Non ho idea di cosa significhi. Qualcuno può spiegarlo in termini più semplici? Forse con un esempio?

Ne ho bisogno per un lemma che segue dal teorema di Church-Russer, dicendo

Se M N allora c'è una L con M L e N \ twoheadrightarrow_ \ beta L.$\equiv_\beta$$\twoheadrightarrow_\beta$$\twoheadrightarrow_\beta$

$\to_\beta$ è la relazione a un passo tra i termini nel $\lambda$ -calculus. Questa relazione non è né riflessiva, simmetrica o transitiva. La relazione di equivalenza $\equiv_\beta$ è la chiusura riflessiva, simmetrica e transitiva di $\to_\beta$ . Questo significa

1. Se $M\to_\beta M'$ allora $M\equiv_\beta M'$ .
2. Per tutti i termini , vale.M ≡ β$M$$M\equiv_\beta M$
3. Se'allora .M ′ ≡ β$M\equiv_\beta M'$$M'\equiv_\beta M$
4. Se e , allora .$M\equiv_\beta M'$$M'\equiv_\beta M''$$M\equiv_\beta M''$
5. $\equiv_\beta$ è la relazione più piccola che soddisfa le condizioni 1-4.

Più costruttivamente, prima applica le regole 1 e 2, quindi ripeti le regole e ripetutamente fino a quando non aggiungono nuovi elementi alla relazione.$3$$4$

È davvero una teoria degli insiemi elementari. Sai cos'è una relazione riflessiva, cos'è una relazione simmetrica e cos'è una relazione transitiva, giusto? Una relazione di equivalenza è quella che soddisfa tutte e tre queste proprietà.

Probabilmente hai sentito parlare della "chiusura transitiva" di una relazione ? Beh, non è altro che la relazione almeno transitiva che include . Questo è ciò che significa il termine "chiusura". Allo stesso modo, si può parlare della "chiusura simmetrica" ​​di una relazione , della "chiusura riflessiva" di una relazione e della "chiusura di equivalenza" di una relazione esattamente allo stesso modo.$R$$R$$R$$R$$R$

Con qualche pensiero, puoi convincerti che la chiusura transitiva di è . La chiusura simmetrica è . La chiusura riflessiva è (dove è la relazione di identità). $R$$R \cup R^2 \cup R^3 \cup \ldots$$R \cup R^{-1}$$R \cup I$$I$

Usiamo la notazione per . Questa è la chiusura transitiva riflessiva di . Ora nota che se è simmetrico, ciascuna delle relazioni , , , , ... è simmetrica. Quindi sarà anche simmetrico.$R^*$$I \cup R \cup R^2 \cup \ldots$$R$$R$$I$$R$$R^2$$R^3$$R^*$

Quindi la chiusura di equivalenza di è la chiusura transitiva della sua chiusura simmetrica, cioè . Questo rappresenta una sequenza di passi, alcuni dei quali sono passi avanti ( ) e alcuni passi indietro ( ).$R$$(R \cup R^{-1})^*$$R$$R^{-1}$

Si dice che la relazione abbia la proprietà Church-Rosser se la chiusura di equivalenza è la stessa della relazione composita . Ciò rappresenta una sequenza di passaggi in cui tutti i passi avanti vengono prima, seguiti da tutti i passi indietro. Quindi, la proprietà Church-Rosser afferma che qualsiasi interlacciamento di passi avanti e indietro può essere eseguito in modo equivalente facendo prima passi avanti e passi indietro.$R$$R^* (R^{-1})^*$