Intuizione dietro la porta di Hadamard

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Sto cercando di insegnare me stesso sull'informatica quantistica e ho una comprensione decente dell'algebra lineare.

Ho attraversato il cancello NOT, il che non era male, ma poi sono arrivato al cancello Hadamard. E mi sono bloccato. Principalmente perché mentre "capisco" le manipolazioni, non capisco cosa fanno veramente o perché vorresti farle, se questo ha senso.

Ad esempio, quando il gate Hadamard accetta , dà . Cosa significa questo? Per il gate NOT, prende e dà . Niente di poco chiaro a riguardo; dà "l'opposto" del bit (per la sovrapposizione, prende in e dà ) e capisco perché è utile; per gli stessi motivi (sostanzialmente) che è utile in un computer classico. Ma cosa (ad esempio) sta facendo la porta Hadamard geometricamente a un vettore ? E perché è utile? $|0\rangle$ $\frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}}$ $|0\rangle$ $|1\rangle$ $\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$ $\beta|0\rangle + \alpha|1\rangle$ $\begin{bmatrix}\alpha \\ \beta \end{bmatrix}$

logic quantum-computing

— erica
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La porta Hadamard potrebbe essere il tuo primo incontro con la creazione di sovrapposizioni . Quando dici che puoi mettere in relazione l'utilità del gate di Pauli (aka ) con la sua controparte classica - beh, Hadamard è esattamente dove lasci il regno dell'analogo classico, allora. È utile esattamente per lo stesso motivo, vale a dire che è spesso usato per formare un insieme universale di porte (come clasical con e fan-out, o solo con fan-out). $X$ NOTANDNOTNOR

Mentre un singolo cancello è in qualche modo direttamente utile nella generazione di numeri casuali (come diceva Yuval Filmus), il suo vero potere si manifesta quando appare in più casi o in combinazione con altre porte. Quando hai qubit inizializzato in , per esempio, e applichi una a ciascuno di essi in qualsiasi ordine, quello che ottieni è che può essere espanso a Voilà, ora possiamo valutare le funzioni su $H$ $n$ $|0\rangle$ $H$

(| 0 ⟩ + | 1 ⟩) \otimes (| 0 ⟩ + | 1 ⟩) \otimes \dots \otimes (| 0 ⟩ + | 1 ⟩) / 2^{n / 2}

$(|0\rangle + |1\rangle) \otimes (|0\rangle + |1\rangle) \otimes \ldots \otimes (|0\rangle + |1\rangle) / 2^{n/2}$

1 / 2^{n / 2} \cdot (| 00 \dots 00 ⟩ + | 00 \dots 01 ⟩ + | 00 \dots 11 ⟩ + \dots + | 11 \dots 11 ⟩)

$1/2^{n/2} \cdot (|00\ldots00\rangle + |00\ldots01\rangle + |00\ldots11\rangle + \ldots + |11\ldots11\rangle)$

2^{n}

$2^n$ diversi ingressi in parallelo! Questo è, ad esempio, il primo passo dell'algoritmo di Grover .

Un altro uso popolare è un Hadamard su un qubit seguito da un CNOTcontrollato con il qubit che hai appena messo in una sovrapposizione. Vedi: Questo è uno stato di Bell che è una pietra angolare di vari protocolli di distribuzione di chiavi quantistiche , calcolo basato su misure , teletrasporto quantico e molte altre applicazioni . Puoi anche usare ripetutamente un numero di qubit target con inizializzazione zero (con lo stesso controllo) per creare che è noto come GHZ stato

C N O T (2^{- 1 / 2} (| 0 ⟩ + | 1 ⟩) \otimes | 0 ⟩) = 2^{- 1 / 2} C N O T (| 00 ⟩ + | 10 ⟩) = 2^{- 1 / 2} (| 00 ⟩ + | 11 ⟩)

$CNOT \big(2^{-1/2}(|0\rangle+|1\rangle)\otimes|0\rangle \big) = 2^{-1/2} CNOT(|00\rangle + |10\rangle) = 2^{-1/2} (|00\rangle + |11\rangle)$ CNOT

2^{- 1 / 2} (| 00 \dots 00 ⟩ + | 11 \dots 11 ⟩)

$2^{-1/2} (|00\ldots00\rangle + |11\ldots11\rangle)$ , anche immensamente utile.

Ultimo ma non meno importante, è una trasformazione di base abbastanza utile che è auto-reversibile. Quindi un altro cancello Hadamard annulla, in un certo senso, ciò che ha fatto un'applicazione precedente ( ). Puoi sperimentare cosa succede se lo usi per "bloccare" altre operazioni, ad esempio mettine una sul qubit target di un gate e un'altra dopo di essa. O su entrambi i qubit (per un totale di 4 Hadamards). Provalo tu stesso e imparerai sicuramente molto sul calcolo quantistico! $H^2 = I$ CNOT

Ri "cosa sta facendo geometricamente il cancello di Hadamard a un vettore": leggi sulla sfera di Bloch , ne sentirai parlare ovunque. In questa rappresentazione, un cancello Hadamard fa una rotazione di 180 ° attorno ad un certo asse inclinato. I cancelli Pauli ( NOTessendo uno su tre) anche fare rotazioni di 180 ° ma solo o o . Poiché tali operazioni geometriche sono piuttosto limitate, queste porte da sole non possono davvero fare molto. (Anzi, se ti limiti a quelli e a $x$ $y$ $z$ CNOTnel tuo computer quantistico, costruisci semplicemente un dispositivo classico molto costoso e inefficace.) Ruotare su qualcosa di inclinato è importante, e un altro ingrediente che di solito ti serve è anche ruotare di una frazione più piccola dell'angolo, come 45 ° (come nella Fase cancello del cambio ).

— The Vee
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Poiché lo stato ha sempre una norma unitaria, gli unici operatori lineari possibili sui qubit sono quelli che conservano le norme. Dall'algebra lineare, sappiamo che questi sono esattamente gli operatori eremiti. Per descrivere un operatore, è sufficiente descriverne l'effetto su una base. Ad esempio, il valore del tuo operatore sul vettore è . $\left| 0 \right\rangle$ $\frac{\left| 0 \right\rangle + \left| 1 \right\rangle}{\sqrt{2}}$

Secondo Wikipedia , la porta Hadamard viene utilizzata per formare un "input casuale". Se applicato a un qubit costante (ovvero, , , o una rotazione di questi di un numero complesso di norma unitaria), la porta Hadamard forma un qubit "uniformemente casuale" , che quando misurato si comporta come un lancio di moneta equo. Questo è il tipo di comportamento che vogliamo quando "proviamo tutte le possibilità in parallelo". $\left| 0 \right\rangle$ $\left| 1 \right\rangle$

Ti suggerisco di continuare a leggere sul calcolo quantistico; quando arriverai agli algoritmi quantistici (come Grover e Shor), capirai a cosa servono tutte queste porte quantistiche.

— Yuval Filmus
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Il "vettore normativo unitario della lunghezza due" mi confondeva perché sono abituato a usare intercambiabili norma e lunghezza.

— adrianN,