Decidibilità dell'uguaglianza delle espressioni radicali

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Considera i termini costruiti a partire da elementi di $\mathbb Q$ e le operazioni e per ogni numero naturale . Data la promessa che due termini sono ben formati - cioè, non c'è divisione per zero e neppure radici di numeri negativi - esiste un algoritmo che decide quando i due termini sono uguali? $+,\times,-,/$ $\sqrt[n]{\,\cdot\,}$ $n$

Una domanda correlata è stata pubblicata qui , ma è più generale (in quanto consente l'espiazione arbitraria, piuttosto che solo da numeri razionali).

— Mees de Vries
fonte

Quali sono i tuoi pensieri? Cosa hai provato e dove ti sei bloccato?

— Raffaello

@Raphael, per essere chiari, non si tratta di compiti a casa o di ricerca - è solo una questione di una mente inattiva. Non ho ancora pensieri non banali a riguardo. Ovviamente questo è banale senza le radici. Sono abbastanza sicuro del set di

Q

$\mathbb Q$ -polinomi in

n

$n$ le radici degli interi hanno uguaglianza decidibile, perché controllo

Q

$\mathbb Q$ -indipendenza lineare di tali radici dovrebbe essere facile (?). Ma sono completamente bloccato quando si tratta di radicali nidificati, o anche di frazioni di tali "polinomi radicali".

— Mees de Vries,

Continuiamo questa discussione in chat .

— Raffaello

3

Sì. Dall'analogo dei numeri reali della trasformazione della Tseytin , che si
riduce alla teoria esistenziale dei reali , che è in PSPACE da

pagina 291 e la parte inferiore della pagina 290 da questo documento
e
le risposte a questa domanda

.

Per tutti i numeri reali $x$ , $\sqrt{x^2}$ e $x$ sono entrambi ben formati e $\sqrt{x^2} = x$ Se e solo se $0\leq x$ , Quindi testare la disuguaglianza si riduce al tuo problema. Non sono a conoscenza di alcun limite superiore migliore per la verifica delle disuguaglianze delle somme di radice quadrata rispetto a questo documento , che lo colloca nella gerarchia dei conteggi .

— Comunità
fonte

Bello, ma perché metti newline prima del punto? Ho provato a compilare il tuo codice degli spazi bianchi, ma senza fortuna.

— Evil

Grazie per la risposta! Ci aspettiamo che i riferimenti soddisfino i requisiti minimi richiesti e siano il più robusti nel tempo. Ti preghiamo di dedicare un po 'di tempo per migliorare il tuo post al riguardo. Abbiamo raccolto alcuni consigli qui . Grazie!

— DW

3

I numeri algebrici sono soluzioni di polinomi con coefficienti razionali.
$+,\times,-,/$ dei numeri algebrici si traducono in numeri algebrici perché i numeri algebrici formano un campo ( 1 ). Ciò significa che anche i radicali nidificati sono numeri algebrici ( 2 ).
I radicali nidificati possono essere negati dall'algoritmo ( 3 , 4 ).
Ogni numero algebrico di laurea $n$ può essere rappresentato in modo univoco come a $n$ di $n$ matrice di numeri interi su una base adeguata (ad esempio, $[1,x, (x^2+1)/2]$ ). Questa rappresentazione consente la valutazione simbolica di $+,\times,-,/$ per addizione matrice, moltiplicazione e inversa (p.159 di 5 , 6 , 7 ).
Due termini sono uguali se le loro rappresentazioni uniche sono identiche.

— punto punto punto
fonte

Sento che la parte importante / interessante qui è l'algoritmo denestante; il resto funziona (anche senza l'algoritmo denestante, poiché i radicali nidificati sono chiaramente algebrici anche se non sai come negarli), ma è una specie di cannone per una mosca.

— Mees de Vries,

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— DW