Quanto è asintoticamente cattivo l'ingenuo mescolamento?

È noto che questo algoritmo 'ingenuo' per mescolare un array scambiando ogni elemento con un altro scelto casualmente non funziona correttamente:

for (i=0..n-1)
  swap(A[i], A[random(n)]);

In particolare, poiché a ciascuna delle iterazioni viene fatta una delle scelte (con probabilità uniforme), ci sono possibili "percorsi" attraverso il calcolo; perché il numero di possibili permutazioninon si divide uniformemente nel numero di percorsi , è impossibile per questo algoritmo produrre ciascuno deipermutazioni con uguale probabilità. (Invece, si dovrebbe usare il cosiddetto shuffle Fischer-Yates , che essenzialmente cambia la chiamata per scegliere un numero casuale da [0..n) con una chiamata per scegliere un numero casuale da [i..n); questo è discutibile per la mia domanda.)$n$$n$$n^n$$n!$$n^n$$n!$

Quello che mi chiedo è: quanto può essere brutto l'ingenuo shuffle? Più specificamente, lasciando che sia l'insieme di tutte le permutazioni e sia il numero di percorsi attraverso l'algoritmo ingenuo che produce la permutazione risultante , qual è il comportamento asintotico del funzioni$P(n)$$C(\rho)$$\rho\in P(n)$

$\qquad \displaystyle M(n) = \frac{n!}{n^n}\max_{\rho\in P(n)} C(\rho)$

e

$\qquad \displaystyle m(n) = \frac{n!}{n^n}\min_{\rho\in P(n)} C(\rho)$ ?

Il fattore principale è "normalizzare" questi valori: se l'ingenuo shuffle è "asintoticamente buono", allora

$\qquad \displaystyle \lim_{n\to\infty}M(n) = \lim_{n\to\infty}m(n) = 1$ .

Ho il sospetto (basato su alcune simulazioni al computer che ho visto) che i valori effettivi siano delimitati da 1, ma è noto anche se $\lim M(n)$ è finito, o se $\lim m(n)$ è limitato da 0? Cosa si sa del comportamento di queste quantità?

Mostreremo per induzione che la permutazione è un esempio con . Se questo è il caso peggiore, come è per i primi (vedere le note per la sequenza OEIS A192053 ), quindi . Quindi il min normalizzato, come il max normalizzato, è "esponenzialmente cattivo".$\rho_n = (2,3,4,\ldots, n,1)$$C(\rho_n) = 2^{n-1}$$n$$m(n) \approx (2/e)^{n}$

Il case base è semplice. Per la fase di induzione, abbiamo bisogno di un lemma:

Lemma: in qualsiasi percorso da a , la prima mossa scambia le posizioni e oppure l'ultima mossa scambia le posizioni e .$(2,3,4, \ldots, n, 1)$$(1,2,3, \ldots, n)$$1$$n$$1$$n$

Proof Sketch: Supponiamo di no. Consideriamo la prima mossa che comporta la '° posizione. Supponiamo che sia l' mossa, e . Questa mossa deve posizionare l'elemento nel '° posto. Ora considera la prossima mossa che tocca l'oggetto . Assumere questa mossa è il 'th mossa. Questa mossa deve scambiare e , spostando l'elemento nel 'esimo posto, con . Un argomento simile afferma che l'elemento può essere spostato successivamente solo a destra. Ma l'articolon i i ≠ 1 i ≠ n 1 i 1 j i j 1 j i < j 1 1 $n$$i$$i\neq 1$$i \neq n$$1$$i$$1$$j$$i$$j$$1$$j$$i < j$$1$$1$deve finire in primo luogo, una contraddizione. $\square$

Ora, se la prima mossa scambia le posizioni e , le mosse rimanenti devono portare la permutazione a . Se le mosse rimanenti non toccano la prima posizione, allora questa è la permutazione nelle posizioni , e sappiamo per induzione che ci sono percorsi che lo fanno. Un argomento simile alla dimostrazione del Lemma afferma che non vi è alcun percorso che tocchi la prima posizione, poiché l'elemento deve quindi finire nella posizione errata.1 n ( 1 , 3 , 4 , 5 , … , n , 2 ) ( 1 , 2 , 3 , 4 , … , n ) ρ n - 1 2 … n C ( ρ n - 1 ) = 2 n - 2$1$$n$$(1, 3,4,5, \ldots, n,2)$$(1,2,3,4, \ldots, n)$$\rho_{n-1}$$2 \ldots n$$C(\rho_{n-1})=2^{n-2}$$1$

Se l'ultima mossa scambia le posizioni e , le prime mosse devono portare la permutazione alla permutazione . Ancora una volta, se queste mosse non toccano l'ultima posizione, allora questa è la permutazione , e per induzione ci sono percorsi quello lo fanno. E ancora, se uno dei primi sposta qui tocca l'ultima posizione, l'oggetto non può mai finire nella posizione corretta.1 n n - 1 ( 2 , 3 , 4 , … , n , 1 ) ( n , 2 , 3 , 4 , … , n - 1 , 1 ) ρ n - 1 C ( ρ n - 1 ) = 2 n - 2 n - 1 $1$$n$$n-1$$(2,3,4,\ldots, n,1)$$(n,2, 3,4, \ldots, n-1, 1)$$\rho_{n-1}$$C(\rho_{n-1})=2^{n-2}$$n-1$$1$

Pertanto, .$C(\rho_n) = 2C(\rho_{n-1}) = 2^{n-1}$

Dopo aver scavato un po 'grazie al puntatore di mhum a OEIS, ho finalmente trovato un'eccellente analisi e un bel argomento (relativamente) elementare (dovuto, per quanto posso dire, a Goldstein e Moews [1]) che cresce superexponenzialmente in :M ( n ) $M(n)$$n$

Qualsiasi involuzione di corrisponde a una corsa dell'algoritmo di shuffling 'ingenuo' che produce come risultato la permutazione dell'identità, poiché l'algoritmo scambia con e successivamente scambia con , lasciando entrambi invariati. Ciò significa che il numero di esecuzioni dell'algoritmo che producono la permutazione dell'identità è almeno il numero di involuzioni (in effetti, un piccolo pensiero mostra che la corrispondenza è 1-1 e quindi è esattamente ) , e quindi il massimo in è limitato dal basso da .ι { 1 … n } k ι ( k ) ι ( k ) k Q ( n ) Q ( n ) M ( n ) Q ( n $\iota$$\{1\ldots n\}$$k$$\iota(k)$$\iota(k)$$k$$Q(n)$$Q(n)$$M(n)$$Q(n)$

Q ( n ) Q ( n ) ≈ C ( $Q(n)$ apparentemente ha un numero di nomi, inclusi i numeri di telefono : vedi http://oeis.org/A000085 e http://en.wikipedia.org/wiki/Telephone_number_%28mathematics%29 . Gli asintotici sono ben noti e risulta che ; dalla relazione di ricorrenza si può mostrare induttivamente che il rapporto soddisfa e da lì l'analisi di base ottiene il termine negli asintotici, sebbene l'altro i termini richiedono uno sforzo più attento. Dal momento che il "fattore di scala"e )n/2e√n Q(n)=Q(n-1)+(n-1)Q(n-2)R(n)=Q(n$Q(n) \approx C\left(\frac{n}{e}\right)^{n/2}e^\sqrt{n}$$Q(n) = Q(n-1)+(n-1)Q(n-2)$Q ( n - 1 )$R(n) = \frac{Q(n)}{Q(n-1)}$n <R(n)< √n + 1 n n / 2 n $\sqrt{n}\lt R(n)\lt\sqrt{n+1}$$n^{n/2}$n n M(n)C$\frac{n!}{n^n}$ nella definizione di è solo circa , il termine principale di domina e produce (asintoticamente) .$M(n)$n e - n Q(n)M(n)≥Cn ( n + 1 ) / 2 e - 3 n / 2 + $C\sqrt{n}e^{-n}$$Q(n)$$M(n)\geq Cn^{(n+1)/2}e^{-3n/2+\sqrt{n}}$

Goldstein e Moews infatti dimostrano in [1] che la permutazione dell'identità è la più probabile per grande , quindi il è in effetti un e il comportamento di è completamente risolto. Questo lascia ancora aperta la questione del comportamento di ; Non sarei troppo sorpreso se ciò avesse comportato anche l'analisi nel loro articolo, ma non ho avuto l'opportunità di leggerlo abbastanza da vicino ancora da afferrare i loro metodi, solo abbastanza per ottenere il risultato di base.n ≥ ≈ M ( n ) m ( n $n$$\geq$$\approx$$M(n)$$m(n)$

[1] Goldstein, D. e Moews, D .: "L'identità è lo shuffle di scambio più probabile per n grande", http://arxiv.org/abs/math/0010066