Ridurre il seguente problema a SAT

Ecco il problema Dato , dove ogni . Esiste un sottoinsieme con dimensioni al massimo tali che S \ cap T_i \ neq \ emptyset per tutti i ? Sto cercando di ridurre questo problema a SAT. La mia idea di una soluzione sarebbe quella di avere una variabile x_i per ciascuna da 1 a n . Per ogni T_i , crea una clausola (x_ {i_1} \ vee \ cdots \ vee x_ ​​{i_k}) se T_i = \ {i_1, \ ldots, i_k \} . Quindi e tutte queste clausole insieme. Ma questa chiaramente non è una soluzione completa in quanto non rappresenta il vincolo che ST i ⊆ { 1 , ... , n $k, n, T_1, \ldots, T_m$$T_i \subseteq \{1, \ldots, n\}$$S \subseteq \{1, \ldots, n\}$$k$$S \cap T_i \neq \emptyset$$i$$x_i$$n$$T_i$$(x_{i_1} \vee \cdots \vee x_{i_k})$$T_i = \{i_1, \ldots, i_k\}$$S$deve avere al massimo $k$ elementi. So che devo creare più variabili, ma semplicemente non sono sicuro di come. Quindi ho due domande:

1. La mia idea di soluzione è sulla buona strada?
2. Come devono essere create le nuove variabili in modo che possano essere utilizzate per rappresentare il vincolo di cardinalità $k$ ?

Sembra che tu stia provando a calcolare un ipergrafo trasversale di dimensione $k$ . Cioè, $\{T_1,\dots,T_m\}$ è il tuo ipergrafo e $S$ è il tuo trasversale. Una traduzione standard consiste nell'esprimere le clausole come in precedenza, quindi tradurre la limitazione della lunghezza in un vincolo di cardinalità.

Quindi usa la tua codifica esistente, ovvero e quindi aggiungi clausole di codifica .$\bigwedge_{1 \le j \le m} \bigvee_{i \in T_j} x_i$$\sum_{1 \le i \le n} x_i \le k$

$\sum_{1 \le i \le n} x_i \le k$ è un vincolo di cardinalità. Esistono diverse traduzioni di vincoli di cardinalità in SAT.

La traduzione del vincolo di cardinalità più semplice ma piuttosto grande è solo . In questo modo ogni disgiunzione rappresenta il vincolo - per tutti i sottoinsiemi di di dimensione k + 1. Cioè, ci assicuriamo che non sia possibile impostare più di k variabili. Si noti che questa non è una dimensione polinomiale in$\bigwedge_{X \subseteq \{1,\dots,n\}, |X| = k+1} \bigvee_{i \in X} \neg x_i$$\neg \bigwedge_{i \in X} x_i$$X$$\{1,\dots,n\}$$k$

Alcuni collegamenti a documenti su traduzioni con vincoli di cardinalità più efficienti in termini di spazio che hanno dimensioni polinomiali in$k$ :

• Tradurre vincoli pseudo-booleani in SAT - Niklas Eén e Niklas Sörensson, JSAT vol 2 (2006), pg 1-26 (un buon sondaggio).
• Codifica CNF efficiente dei vincoli della cardinalità booleana - Olivier Bailleux e Yacine Boufkhad, Proceedings of Principles and Practice of Constraint Programming 2003, LNCS vol 2833, pg 108-122 (una traduzione piacevole, abbastanza facile da implementare).
• Verso una codifica CNF ottimale dei vincoli della cardinalità booleana - Carsten Sinz - Atti di principi e pratica della programmazione dei vincoli 2005, LNCS 3709, pag. 827-831.
• Verso una robusta codifica CNF dei vincoli di cardinalità - Joao Marques-Silva e Inês Lynce, Atti di principi e pratica della programmazione dei vincoli 2007, LNCS 4741, pag. 483-497.

Se sei effettivamente interessato a risolvere tali problemi, forse è meglio formularli come problemi pseudo-booleani (vedi l' articolo wiki sui problemi pseudo-booleani ) e usare solutori pseudo-booleani (vedi competizione pseudo-booleana ). In questo modo i vincoli di cardinalità sono solo vincoli pseudo-booleani e fanno parte del linguaggio - si spera che il risolutore pseudo-booleano li gestisca direttamente e quindi in modo più efficiente.

Se non sei assolutamente impostato sul normale SAT, la tua idea è già una riduzione a MIN-ONES (su formule CNF positive), che è fondamentalmente SAT, ma dove puoi impostare al massimo variabili su true (rigorosamente è l'ottimizzazione versione in cui minimizziamo il numero di variabili vere).$k$

Allo stesso modo, se ti in una direzione di complessità parametrizzata, allora hai già sostanzialmente WSAT ( ), dove è la classe di tutti i positivi Formule CNF (come in precedenza, la notazione potrebbe aiutare le tue indagini). In questo caso dovresti iniziare a guardare quale parametrizzazione sarebbe utile nel tuo caso.$\Gamma_{2,1}^{+}$$\Gamma_{2,1}^{+}$

Suppongo che tu stia cercando una riduzione esplicita, ma in caso contrario puoi sempre ricorrere al teorema di Cook-Levin .