Babbo Natale può essere sia giusto che efficiente?

Come stabilisce la rete sempreverde The Physics of Santa , è fisicamente impossibile per Babbo Natale ottenere un regalo per ogni bambino del pianeta. La pianificazione del percorso non aiuterà molto lì, ma un buon algoritmo di pianificazione può almeno garantire che ogni bambino riceva un regalo di tanto in tanto mentre Babbo Natale serve anche il maggior numero possibile di bambini ogni anno?

Considera un grafico completo con pesi reali, positivi e una costante . Vogliamo risolvere una variante del problema del commesso viaggiatore: $k$

Esiste un percorso circolare di lunghezza al massimo che serve più dei nodi ? $k$ $m$

La versione di ottimizzazione sarebbe:

Massimizza il numero di nodi che possono essere serviti con un percorso circolare di lunghezza al massimo . $k$

Ciò è motivato dalle limitazioni del mondo reale sui percorsi: Babbo Natale ha una notte per consegnare il maggior numero possibile di regali, un venditore ha otto ore per il percorso di un giorno e così via.

La prima, ma non ultima domanda è: quanto è difficile questo problema? Supponiamo di poter iniziare da qualsiasi nodo, ma ciò non dovrebbe fare troppa differenza.

Ora, al fine di modellare l'equità, supponiamo che ci siano nodi e che possiamo visitare al massimo con ogni tour. Idealmente, vorremmo che ogni nodo viene visitato volte in tutta tour efficienti. Poiché potrebbero esserci nodi di collo di bottiglia che devono essere visitati più spesso per garantire che le rotte visitino molti nodi, alcuni dovranno inevitabilmente essere visitati meno spesso. Ciò esclude anche la banale approssimazione della rimozione dei nodi una volta visitati fino a quando tutti non sono stati visitati. $N$ $M$ $t\cdot\frac{M}{N}$ $t$

Quindi, ecco l'ultima domanda. Sia il numero di tour necessari fino a quando tutti i nodi saranno stati visitati da -tours efficienti . Come possiamo determinare algoritmicamente il valore minimo di (e tutti i percorsi necessari)? Quanto è complesso questo problema? $T$ $k$ $T$

Immagino che questo sia davvero un problema multi-criterio: ogni tour dovrebbe visitare il maggior numero possibile di nodi mentre vogliamo mantenere i tour il più disgiunti possibile.

complexity-theory graphs scheduling

— Raffaello
fonte

Il vero Babbo Natale usa una buona magia per risolvere i problemi NP-completi in tempo. Se hai un'istanza difficile di 3DM che devi risolvere entro la fine dell'anno, prova a scrivergli al polo nord e se sei stato un buon piccolo ricercatore, potrebbe darti la risposta entro Natale.

O (1)

$O(1)$

— Mark Dominus,

Sono leggermente confuso. Se è una costante, puoi provare tutti i tour possibili. Quindi il problema è in . $k$ $O(n^k)$ ${\sf P}$

Tuttavia, se fa parte dell'input, il problema decisionale è . Questo può essere mostrato riducendo al problema, con la seguente riduzione. $k$ ${\sf NP}$ $\text{HAM-CIRCUIT}$

Supponiamo di voler determinare se un grafico -vertex ha un circuito hamiltoniano. Quindi prendiamo il grafico completo con la seguente funzione di distanza Inoltre scegliamo e . $n$ $G$ $K_n$

w_{i j} := {\begin{cases} 1 & if (v_{i}, v_{j}) is an edge in G \\ 2 & otherwise \end{cases} .

$w_{ij}:=\begin{cases} 1 & \text{if $(v_i,v_j)$ is an edge in $G$} \\ 2 & \text{otherwise} \end{cases}.$

k = n

$k=n$

m = n - 1

$m=n-1$

Lascia che ti dica perché questa è una riduzione. Se ha un circuito hamiltoniano, allora c'è un tour in con lunghezza . In altre parole, un percorso circolare di lunghezza che serve nodi. D'altra parte, se c'è un tour di Babbo Natale che visita nodi, deve visitare tutti i nodi. Poiché il Santa-tour può avere solo lunghezza ed ogni lunghezza bordo è almeno 1, tutti bordi in questo tour hanno lunghezza 1. Quindi questo tour corrisponde ad un circuito hamiltoniano in . $G$ $K_n$ $n$ $\le n$ $> (n-1)$ $>(n-1)$ $\le n$ $n$ $G$

— A.Schulz
fonte

Questo è vero per trovare un tour con molti nodi, ma l'obiettivo aggiuntivo e competitivo di visitare tutti i nodi con pochi tour complica le cose?

— Raffaello