Letteratura su un approccio ingenuo all'isomorfismo grafico mediante ispezione di polinomi di matrici di adiacenza

Descrivo un approccio all'isomorfismo grafico che probabilmente ha falsi positivi e sono curioso di sapere se esiste letteratura che indica che non funziona.

Date due matrici di adiacenza , un metodo dichiaratamente ingenuo per verificare l'isomorfismo consiste nel verificare se per ogni riga di , esiste una riga di che è una permutazione della riga , indicata da . Un po 'più severa è la domanda, esiste un "isomorfismo locale" per il quale per tutte le righe. La produzione di un isomorfismo locale può essere eseguita in un tempo polinomiale costruendo una matrice con ; poi e $G, H$ $u$ $G$ $v$ $G$ $u$ $G[u] \sim H[v]$ $\pi$ $G[u] \sim H[\pi(u)]$ $n\times n$ $A$ $A[u,v] = (G[u]\sim H[v])$ $G$ $H$ sono localmente isomorfi se ha una copertura del ciclo e ogni copertura del ciclo è un isomorfismo locale. $A$

$G^2, H^2, G^3, H^3,\ldots$ $A[u,v] = 0$ $G^k[u]\not\sim H^k[v]$ e verifica la copertura del ciclo solo alla fine. Un approccio ancora meno ingenuo è quello di trovare un insieme di polinomi, anzi un insieme di circuiti aritmetici, e impostare quando troviamo un polinomio con . $A[u,v]=0$ $p$ $p(G)[u]\not\sim p(H)[v]$

Questo mi sembra un approccio incredibilmente ingenuo all'isomorfismo grafico, quindi sono sicuro che qualcuno lo abbia già studiato e dimostrato un teorema come

Thm per infiniti sono nonisomorphic matrici e una permutazione tale che per ogni polinomio , e sono localmente isomorfi da tale permutazione: . $n$ $n\times n$ $G, H$ $\pi$ $p$ $p(G)$ $p(H)$ $p(G)\overset{\pi}{\sim}p(H)$

Domanda: esiste un tale teorema? Ho cercato in letteratura e non riesco a trovarlo.

Se esiste un limite sul grado che è polinomiale in tale che per ogni due matrici non isomorfiche, l'isomorfismo locale viene confutato calcolando , o se esiste una famiglia di polinomi facilmente calcolabile , ognuno con lunghezza limitata polinomialmente ma possibilmente grado esponenziale, allora abbiamo un algoritmo P per l'isomorfismo grafico. Se tali polinomi (o circuiti aritmetici) sono facili da indovinare, allora abbiamo un algoritmo coRP . Se esiste sempre una (famiglia di) circuiti aritmetici per assistere a isomorfismi non locali, questo fornisce un algoritmo coNP . $k$ $n$ $G^1, H^1, \ldots, G^{poly(n)}, H^{poly(n)}$ $p_1, \ldots ,p_k$

Si noti che possiamo evitare il problema che le voci delle matrici ad alta potenza diventano troppo grandi calcolando i polinomi su piccoli campi, ad esempio calcolandoli modulo piccoli numeri primi. In un algoritmo coNP , il prover può fornire questi numeri primi.

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— Lieuwe Vinkhuijzen
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Sì, esiste un tale teorema, più o meno. Sostanzialmente afferma che la procedura di Weisfeiler-Lehman k-dimensionale sussume (cioè domina) tutti gli approcci combinatori noti al test dell'isomorfismo grafico. (La tua proposta concreta dovrebbe essere inclusa nella procedura Weisfeiler-Lehman bidimensionale, se non sbaglio.) Per ogni k fisso, esiste una classe di controesempi alla procedura Weisfeiler-Lehman k-dimensionale nota come Cai-Fürer -Costruzione di Immigrato.

Ho appreso per la prima volta le basi della procedura Weisfeiler-Lehman e la costruzione Cai-Fürer-Immmerman da

http://users.cecs.anu.edu.au/~pascal/docs/thesis_pascal_schweitzer.pdf

C'è molto di più da imparare sulla procedura Weisfeiler-Lehman di quanto descritto qui, ma almeno il trattamento della costruzione Cai-Fürer-Immmerman è completo e sufficiente per il tuo scopo. " La procedura Weisfeiler-Lehman ", di Vikraman Arvind, è un recente breve saggio inteso come un invito all'argomento.

Forse il punto cruciale da togliere alla mia risposta è che se tu trovassi un metodo di test isomorfico puramente combinatorio (come quello descritto nella tua domanda), che non è ripreso (cioè dominato) dalla procedura Weisfeiler-Lehman k-dimensionale, allora questo sarebbe un progresso da solo, indipendentemente dal fatto che il metodo sarebbe effettivamente utile.

— Thomas Klimpel
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