Letteratura su un approccio ingenuo all'isomorfismo grafico mediante ispezione di polinomi di matrici di adiacenza


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Descrivo un approccio all'isomorfismo grafico che probabilmente ha falsi positivi e sono curioso di sapere se esiste letteratura che indica che non funziona.

Date due matrici di adiacenza , un metodo dichiaratamente ingenuo per verificare l'isomorfismo consiste nel verificare se per ogni riga di , esiste una riga di che è una permutazione della riga , indicata da . Un po 'più severa è la domanda, esiste un "isomorfismo locale" per il quale per tutte le righe. La produzione di un isomorfismo locale può essere eseguita in un tempo polinomiale costruendo una matrice con ; poi eu G v G u G [ u ] H [ v ] π G [ u ] H [ π ( u ) ] n × n A A [ u , v ] = ( G [ u ] H [ v ] ) G HG,HuGvGuG[u]H[v]πG[u]H[π(u)]n×nAA[u,v]=(G[u]H[v])GHsono localmente isomorfi se ha una copertura del ciclo e ogni copertura del ciclo è un isomorfismo locale.A

sol2,H2,sol3,H3,...UN[u,v]=0solK[u]HK[v]e verifica la copertura del ciclo solo alla fine. Un approccio ancora meno ingenuo è quello di trovare un insieme di polinomi, anzi un insieme di circuiti aritmetici, e impostare quando troviamo un polinomio con .UN[u,v]=0p ( G ) [ u ] p ( H ) [ v ]pp(sol)[u]p(H)[v]

Questo mi sembra un approccio incredibilmente ingenuo all'isomorfismo grafico, quindi sono sicuro che qualcuno lo abbia già studiato e dimostrato un teorema come

Thm per infiniti sono nonisomorphic matrici e una permutazione tale che per ogni polinomio , e sono localmente isomorfi da tale permutazione: .n × n G , H π p p ( G ) p ( H ) p ( G ) π p ( H )nn×nsol,Hπpp(sol)p(H)p(sol)~πp(H)

Domanda: esiste un tale teorema? Ho cercato in letteratura e non riesco a trovarlo.

Se esiste un limite sul grado che è polinomiale in tale che per ogni due matrici non isomorfiche, l'isomorfismo locale viene confutato calcolando , o se esiste una famiglia di polinomi facilmente calcolabile , ognuno con lunghezza limitata polinomialmente ma possibilmente grado esponenziale, allora abbiamo un algoritmo P per l'isomorfismo grafico. Se tali polinomi (o circuiti aritmetici) sono facili da indovinare, allora abbiamo un algoritmo coRP . Se esiste sempre una (famiglia di) circuiti aritmetici per assistere a isomorfismi non locali, questo fornisce un algoritmo coNP .n G 1 , H 1 , , G p o l y ( n ) , H p o l y ( n ) p 1 , , p kKnsol1,H1,...,solpoly(n),Hpoly(n)p1,...,pK

Si noti che possiamo evitare il problema che le voci delle matrici ad alta potenza diventano troppo grandi calcolando i polinomi su piccoli campi, ad esempio calcolandoli modulo piccoli numeri primi. In un algoritmo coNP , il prover può fornire questi numeri primi.

Risposte:


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Sì, esiste un tale teorema, più o meno. Sostanzialmente afferma che la procedura di Weisfeiler-Lehman k-dimensionale sussume (cioè domina) tutti gli approcci combinatori noti al test dell'isomorfismo grafico. (La tua proposta concreta dovrebbe essere inclusa nella procedura Weisfeiler-Lehman bidimensionale, se non sbaglio.) Per ogni k fisso, esiste una classe di controesempi alla procedura Weisfeiler-Lehman k-dimensionale nota come Cai-Fürer -Costruzione di Immigrato.

Ho appreso per la prima volta le basi della procedura Weisfeiler-Lehman e la costruzione Cai-Fürer-Immmerman da

http://users.cecs.anu.edu.au/~pascal/docs/thesis_pascal_schweitzer.pdf

C'è molto di più da imparare sulla procedura Weisfeiler-Lehman di quanto descritto qui, ma almeno il trattamento della costruzione Cai-Fürer-Immmerman è completo e sufficiente per il tuo scopo. " La procedura Weisfeiler-Lehman ", di Vikraman Arvind, è un recente breve saggio inteso come un invito all'argomento.

Forse il punto cruciale da togliere alla mia risposta è che se tu trovassi un metodo di test isomorfico puramente combinatorio (come quello descritto nella tua domanda), che non è ripreso (cioè dominato) dalla procedura Weisfeiler-Lehman k-dimensionale, allora questo sarebbe un progresso da solo, indipendentemente dal fatto che il metodo sarebbe effettivamente utile.

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