Perché A implica che B è vero se A è falso e B è falso?


24

Mi sembra che "implica" in lingua inglese non significhi la stessa cosa che l'operatore logico "implica", in modo simile al modo in cui la parola "OR" nella maggior parte dei casi significa "OR esclusivo" nel nostro uso quotidiano della lingua.

Facciamo due esempi:

Se oggi è lunedì, domani è martedì.

Questo è vero .

Ma se diciamo:

Se il sole è verde, allora l'erba è verde.

Anche questo è considerato vero. Perché? Qual è la 'logica' in inglese naturale dietro questo? Mi fa impazzire.


10
Perché l'implicazione riguarda la preservazione della verità . Se A è falso, non c'è verità da preservare.
Rodrigo de Azevedo,

23
La logica booleana non ha nulla a che fare con la lingua inglese.
Yuval Filmus,

8
Già trattato su Math Stack Exchange in questo thread e in altri argomenti correlati: math.stackexchange.com/questions/48161/…
Nayuki,

8
Anche questo scambio di stack di filosofia sulla questione è rilevante: perché i condizionali con falsi antecedenti sono considerati veri?
Duplode il

2
@MHH ah, giusto. "Se x> 5 allora x> 3" è vero non vacuo, "se 2> 5 quindi 2> 3" è una vera implicazione (premessa errata) ma non vacuo perché non è coinvolto alcun set vuoto.
eques

Risposte:


38

Gli umani sono cattivi nella logica fino a quando non devono impiegarlo per capire gli affari umani. Pensa a " se alloraAB " è una specie di promessa: "Ti prometto che se fai allora farò ". Tale promessa non dice nulla su cosa potrei fare se non si riesce a fare . In effetti, potrei fare comunque, e questo non mi renderebbe bugiardo.B AABAB

Ad esempio, supponiamo che tua madre ti dica:

Se pulisci la tua stanza, creerò dei pancakes.

E diciamo che non hai ripulito la tua stanza, ma quando sei entrata in cucina tua madre stava preparando dei pancakes. Chiediti se questo rende tua madre una bugiarda. Non è così! Sarebbe una bugiarda solo se pulissi la stanza ma si rifiutasse di preparare i pancake. Potrebbero esserci altri motivi per cui ha deciso di preparare dei pancakes (forse tua sorella ha ripulito la sua stanza). Tua madre non ti ha detto "Se non pulisci la stanza non farò i pancake", vero?

Quindi, se lo dico

"Se il sole è verde, allora l'erba è verde."

questo non mi rende bugiardo. Il sole non è verde (non hai ripulito la stanza), ma l'erba si è rivelata comunque verde (ma tua madre ha preparato i pancake comunque).


Non ti renderebbe bugiardo, ma non ti renderebbe neppure un vero spacciatore. Perché non dici semplicemente la verità onesta, che è puramente una convenzione? Tutti sul pianeta sembrano aver paura di dirlo (tranne per l'utente che ha pubblicato l'altra risposta in questa pagina) ...
Mehrdad,

12
A cosa si riferisce a quando si SAIS " che è puramente una convenzione"? Il significato dell'implicazione? Certo, ma ti sbagli quando dici che è puramente una convenzione, come se il significato dell'implicazione fosse una sorta di spazzatura arbitraria che un burocrate ha inventato. Le convenzioni (se vuoi chiamarle così) in matematica sono lì per una buona ragione. Sono utili e aiutano a spiegare le cose. Sono tutt'altro che arbitrari, motivo per cui è intelettualmente disonesto assumere la posizione che "tutto è semplicemente una convenzione". Ti rende un troll.
Andrej Bauer,

La respirazione è semplicemente una convenzione. ;-)
jpaugh il

2
<span style = "voice: samuel-jackson"> Pensi che sia l'aria che stai respirando? </span>
Andrej Bauer,

2
@AndrejBauer - ... penso che tu intendi style="voice: laurence-fishburne"..
Mark Rogers,

16

È una convenzione - potremmo usarne una diversa, ma questa è conveniente. Ecco cosa dice Terence Tao :

Questo è discusso nell'Appendice A.2 del mio libro [Analisi 1]. La nozione di implicazione usata in matematica è quella di implicazione materiale, che in particolare assegna un valore vero a qualsiasi implicazione vacua. Naturalmente si potrebbe usare una convenzione diversa per la nozione di implicazione, tuttavia l'implicazione materiale è molto utile allo scopo di dimostrare teoremi matematici, in quanto consente di usare implicazioni come "if A, then B" senza dover prima verificare se A è vero o no. L'implicazione materiale obbedisce anche a una serie di proprietà utili, come la specializzazione: se per esempio si sa per ogni x che P (x) implica Q (x), allora si può specializzarlo su un valore specifico di X, diciamo 3, e concludi che P (3) implica Q (3). Si noti tuttavia che facendo così un'implicazione non vacua può diventare un'implicazione vacua. Ad esempio, sappiamo che implica x 225 per qualsiasi numero reale x ; specializzandoci sul numero reale 3, otteniamo l'implicazione vacua che 3 5 implica 3 225 .X5X225X353225

Il modo in cui mi piace pensare alle implicazioni materiali è il seguente: l'affermazione che A implica che B sta solo dicendo che "B è almeno vero quanto A". In particolare, se A è vero, anche B deve essere vero; ma se A è falso, allora l'implicazione materiale consente a B di essere vero o falso, e quindi l'implicazione è vera indipendentemente dal valore di verità di B.


Questa affermazione suona bene finché non ti rendi conto che l'intuizione che sta invocando non è in realtà vera. Pensa a qualcosa come "Se gli alieni vagano sulla Terra, allora io sono un alieno" ... Sarei molto più propenso a credere che gli alieni vagano sulla Terra di quanto io stesso sia un alieno ...
Mehrdad,

1
"Se gli alieni vagano per la Terra, allora sono un alieno" non è una vera implicazione; cioè, q non segue da ordinariamente. Ciò è distinto dal fatto che se p è falso l'implicazione è vera
equivale al

@Mehrdad non dovrebbe essere "Se sono un alieno, allora gli alieni vagano per la Terra"?
Paŭlo Ebermann,

@eques: "Se il sole sorge domani, allora mi alzerò la mattina" ... Scommetto che se il sole non sorgesse domani mi alzerei ancora la mattina (escludendo altri effetti del sole che scompare ). Ma la gente dice cose del genere comunque.
Mehrdad,

Le persone di @Mehrdad dicono cose che non sono sempre logicamente rigorose; ciò non significa che le regole della logica non siano buone. E se qualcuno si alza ancora la mattina anche se il sole non è sorto, non ha contrastato le loro implicazioni. L'implicazione è ancora vero
EQUES

10

"A implica B" significa (breve) "se A è vero, allora B è vero".

Significa (un po 'più a lungo) "se A è vero, allora pretendo che B sia vero; se A è falso, allora non faccio alcuna rivendicazione su B".

Ora prendi "Se il sole è verde, allora l'erba è verde".

Nella forma lunga è tradotto in "Se il sole è verde, allora io sostengo che l'erba è verde; se il sole non è verde, allora non pretendo nulla sul colore dell'erba". Il sole non è verde, quindi non rivendico assolutamente il colore dell'erba.


Quindi, se non fai alcuna affermazione riguardo all'erba, ciò significa che tutto è vero per l'erba ... ma come è equivalente a "Non rivendico alcuna affermazione nei confronti dell'erba"?
yoyo_fun,

L'operatore logico "implicito" può essere modellato usando insiemi come il resto degli operatori?
yoyo_fun,

1
@yoyo_fun equivale a ¬ A B e puoi modellarlo allo stesso modo. AB¬AB
Hobbs,

1
@yoyo_fun Non fare alcuna affermazione sull'erba non significa che tutto sia andato storto . l'erba è vera! (L'erba è viva; l'erba è morta non può essere vera.) Nel contesto, ciò che significa è: "Se il sole non è verde, la frase originale non ci fornisce alcuna informazione sull'erba".
jpaugh,

6

Facciamo un esempio. Supponiamo che vogliamo esprimere che è l'unico elemento del set S che soddisfa proprietà P . Quindi possiamo scrivere x SaSP Indica che qualsiasi elemento di x che soddisfa P deve essere uguale a a . Essa non rivendica nulla di elementi che non soddisfano P . Se b non soddisfa P ed è diverso da a allora P ( b ) è falso e b = a è falso, e quindi P ( b ) b = a è vero, proprio come nel tuo esempio.

xSP(x)x=a
xPaPbPaP(b)b=aP(b)b=a

3
Questa penso sia la migliore risposta. Ad esempio: l'affermazione "se un animale è un gatto, allora è un mammifero" è vera anche se ci sono animali che sono mammiferi ma non gatti e animali che non sono né gatti né mammiferi.
jadhachem,

4

È importante notare che molte forme di logica non hanno un concetto di cronologia o causalità. Se qualcosa è vero, allora - nel suo contesto - sarà e continuerà ad essere vero per sempre. Dire che X implica Y non significa in alcun modo che X in alcun modo farà sì che Y sia vero. Significa semplicemente che X non può essere vero senza che Y sia anche vero, e Y non può essere falso senza che anche X sia falso.

Descrivere utilmente le relazioni causali nel mondo reale richiede qualcosa al di là dei costrutti usati nella logica "senza tempo". Un concetto simile "Per ogni azione Y tale che X potrebbe causare Y ragionevole, Y è considerato ragionevole" può essere utile in un universo causale anche se X potrebbe essere falsa, ma l'operatore implicazione soffia completamente in questi casi. Se si dovesse dire "X implica che Y deve essere considerato ragionevole" e si scopre che X non è mai stato vero, ciò implicherebbe che tutte le azioni saranno considerate ragionevoli.

Non sono sicuro di quali forme di logica includano i costrutti necessari per consentire affermazioni che coinvolgono la causalità unidirezionale, ma riconoscere che la definizione logica di "implica" non riconosce i concetti di tempo e causalità dovrebbe rendere più facile capire perché si comportano in modo controintuitivo.


1

Durante l'utilizzo di Implication in inglese non si tratta di cose o oggetti che consideriamo.

sungreengrassgreen

Il sole è solo un oggetto qui, non attaccarlo emotivamente, che un sole non può essere verde.

SGGG

>

Questo sembra meno confuso rispetto alla scrittura in inglese.


Cosa c'entra "l'attaccamento emotivo" con qualcosa? E in che modo l'ortografia degli oggetti ha risposto diversamente alla domanda?
Lightness Races con Monica il

@LightnessRacesinOrbit È solo per alcuni studenti che vedono le cose emotivamente piuttosto che essere orientati alla logica. E mi dispiace quale ortografia si sbaglia ??
iambruv,

Non ho detto che l'ortografia fosse sbagliata. Sto chiedendo perché respelling "sun" as S, "green" as Ge "grass" come GGcambiano qualcosa.
Corse di leggerezza con Monica il

@LightnessRacesinOrbit Oh, è solo per convincere, niente di più. A volte ci confondiamo quando la frase viene data come alcune penne sono matita, tutte le matite sono pappagalli, nessun pappagallo è un uccello. Quindi preferisco usare questo tipo di simbolo per farmi smettere di visualizzare in che modo tutte le matite sono legate all'essere uccelli, perché sono solo oggetti che non hanno alcun significato con la matita o l'uccello.
iambruv,

Sì, ancora non vedo come questo risponda alla domanda, ma va bene
Lightness Races con Monica il

-1

Per mettere la tua testa nel posto giusto per la mia risposta, voglio menzionare quello che mi piace chiamare il teorema delle scimmie volanti o che Wikipedia ama chiamare il Principio di esplosione , che afferma:

(p¬p)q

O, in inglese, questo dice "data una contraddizione, le scimmie potrebbero volare fuori dal mio culo (audio NSFW) ", o alternativamente "dalla menzogna, tutto segue". Un modo di pensare a questo è che se e 2 + 2 = 5 allora 4 = 5 , il che significa che 0 =2+2=4 2+2=54=50=116=251=01=1abusando di una divisione nascosta per zero , perché non ti è permesso dividere per zero in modo da poter rendere tutto ciò che vuoi vero.


Una volta che siamo in questo regno in cui sappiamo che è falso, non siamo più nella realtà. Siamo in una dimensione alternativa dovepFTFF


2
PQPQ Q

@DavidRicherby let . Chiaramente ( p ¬ p ) q è valido quanto ( p ¬ p ) rr=¬q(p¬p)q(p¬p)r . Dalla menzogna, tutto segue, compresa un'altra contraddizione.
durron597,
Utilizzando il nostro sito, riconosci di aver letto e compreso le nostre Informativa sui cookie e Informativa sulla privacy.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.