Perché A implica che B è vero se A è falso e B è falso?

Mi sembra che "implica" in lingua inglese non significhi la stessa cosa che l'operatore logico "implica", in modo simile al modo in cui la parola "OR" nella maggior parte dei casi significa "OR esclusivo" nel nostro uso quotidiano della lingua.

Facciamo due esempi:

Se oggi è lunedì, domani è martedì.

Questo è vero .

Ma se diciamo:

Se il sole è verde, allora l'erba è verde.

Anche questo è considerato vero. Perché? Qual è la 'logica' in inglese naturale dietro questo? Mi fa impazzire.

Gli umani sono cattivi nella logica fino a quando non devono impiegarlo per capire gli affari umani. Pensa a " se allora$A$$B$ " è una specie di promessa: "Ti prometto che se fai allora farò ". Tale promessa non dice nulla su cosa potrei fare se non si riesce a fare . In effetti, potrei fare comunque, e questo non mi renderebbe bugiardo.B $A$$B$$A$$B$

Ad esempio, supponiamo che tua madre ti dica:

Se pulisci la tua stanza, creerò dei pancakes.

E diciamo che non hai ripulito la tua stanza, ma quando sei entrata in cucina tua madre stava preparando dei pancakes. Chiediti se questo rende tua madre una bugiarda. Non è così! Sarebbe una bugiarda solo se pulissi la stanza ma si rifiutasse di preparare i pancake. Potrebbero esserci altri motivi per cui ha deciso di preparare dei pancakes (forse tua sorella ha ripulito la sua stanza). Tua madre non ti ha detto "Se non pulisci la stanza non farò i pancake", vero?

Quindi, se lo dico

"Se il sole è verde, allora l'erba è verde."

questo non mi rende bugiardo. Il sole non è verde (non hai ripulito la stanza), ma l'erba si è rivelata comunque verde (ma tua madre ha preparato i pancake comunque).

È una convenzione - potremmo usarne una diversa, ma questa è conveniente. Ecco cosa dice Terence Tao :

Questo è discusso nell'Appendice A.2 del mio libro [Analisi 1]. La nozione di implicazione usata in matematica è quella di implicazione materiale, che in particolare assegna un valore vero a qualsiasi implicazione vacua. Naturalmente si potrebbe usare una convenzione diversa per la nozione di implicazione, tuttavia l'implicazione materiale è molto utile allo scopo di dimostrare teoremi matematici, in quanto consente di usare implicazioni come "if A, then B" senza dover prima verificare se A è vero o no. L'implicazione materiale obbedisce anche a una serie di proprietà utili, come la specializzazione: se per esempio si sa per ogni x che P (x) implica Q (x), allora si può specializzarlo su un valore specifico di $x$, diciamo 3, e concludi che P (3) implica Q (3). Si noti tuttavia che facendo così un'implicazione non vacua può diventare un'implicazione vacua. Ad esempio, sappiamo che implica x 2 ≥ 25 per qualsiasi numero reale x ; specializzandoci sul numero reale 3, otteniamo l'implicazione vacua che 3 ≥ 5 implica 3 2 ≥ 25 .$x \geq 5$$x^2 \geq 25$$x$$3 \geq 5$$3^2 \geq 25$

Il modo in cui mi piace pensare alle implicazioni materiali è il seguente: l'affermazione che A implica che B sta solo dicendo che "B è almeno vero quanto A". In particolare, se A è vero, anche B deve essere vero; ma se A è falso, allora l'implicazione materiale consente a B di essere vero o falso, e quindi l'implicazione è vera indipendentemente dal valore di verità di B.

"A implica B" significa (breve) "se A è vero, allora B è vero".

Significa (un po 'più a lungo) "se A è vero, allora pretendo che B sia vero; se A è falso, allora non faccio alcuna rivendicazione su B".

Ora prendi "Se il sole è verde, allora l'erba è verde".

Nella forma lunga è tradotto in "Se il sole è verde, allora io sostengo che l'erba è verde; se il sole non è verde, allora non pretendo nulla sul colore dell'erba". Il sole non è verde, quindi non rivendico assolutamente il colore dell'erba.

Facciamo un esempio. Supponiamo che vogliamo esprimere che è l'unico elemento del set S che soddisfa proprietà P . Quindi possiamo scrivere ∀ x ∈ $a$$S$$P$ Indica che qualsiasi elemento di x che soddisfa P deve essere uguale a a . Essa non rivendica nulla di elementi che non soddisfano P . Se b non soddisfa P ed è diverso da a allora P ( b ) è falso e b = a è falso, e quindi P ( b ) ⇒ b = a è vero, proprio come nel tuo esempio.

È importante notare che molte forme di logica non hanno un concetto di cronologia o causalità. Se qualcosa è vero, allora - nel suo contesto - sarà e continuerà ad essere vero per sempre. Dire che X implica Y non significa in alcun modo che X in alcun modo farà sì che Y sia vero. Significa semplicemente che X non può essere vero senza che Y sia anche vero, e Y non può essere falso senza che anche X sia falso.

Descrivere utilmente le relazioni causali nel mondo reale richiede qualcosa al di là dei costrutti usati nella logica "senza tempo". Un concetto simile "Per ogni azione Y tale che X potrebbe causare Y ragionevole, Y è considerato ragionevole" può essere utile in un universo causale anche se X potrebbe essere falsa, ma l'operatore implicazione soffia completamente in questi casi. Se si dovesse dire "X implica che Y deve essere considerato ragionevole" e si scopre che X non è mai stato vero, ciò implicherebbe che tutte le azioni saranno considerate ragionevoli.

Non sono sicuro di quali forme di logica includano i costrutti necessari per consentire affermazioni che coinvolgono la causalità unidirezionale, ma riconoscere che la definizione logica di "implica" non riconosce i concetti di tempo e causalità dovrebbe rendere più facile capire perché si comportano in modo controintuitivo.

Durante l'utilizzo di Implication in inglese non si tratta di cose o oggetti che consideriamo.

$sun$$green$$grass$$green$

Il sole è solo un oggetto qui, non attaccarlo emotivamente, che un sole non può essere verde.

$S$$G$$GG$

$->$

Questo sembra meno confuso rispetto alla scrittura in inglese.

Per mettere la tua testa nel posto giusto per la mia risposta, voglio menzionare quello che mi piace chiamare il teorema delle scimmie volanti o che Wikipedia ama chiamare il Principio di esplosione , che afferma:

O, in inglese, questo dice "data una contraddizione, le scimmie potrebbero volare fuori dal mio culo (audio NSFW) ", o alternativamente "dalla menzogna, tutto segue". Un modo di pensare a questo è che se e 2 + 2 = 5 allora 4 = 5 , il che significa che 0 $2+2=4$ $2+2=5$$4=5$$0=1$$16=25$$1=0$$1=-1$abusando di una divisione nascosta per zero , perché non ti è permesso dividere per zero in modo da poter rendere tutto ciò che vuoi vero.

Una volta che siamo in questo regno in cui sappiamo che è falso, non siamo più nella realtà. Siamo in una dimensione alternativa dove$p$$F \rightarrow T$$F \rightarrow F$