Numeri di congetture di Goldbach e castori occupati?

Background: sono un vero laico in informatica.

Stavo leggendo i numeri di Busy Beaver qui e ho trovato il seguente passaggio:

L'umanità non può mai conoscere il valore di BB (6) per certo, figuriamoci quello di BB (7) o qualsiasi altro numero più alto nella sequenza.

In effetti, già i primi contendenti a cinque e sei regole ci sfuggono: non possiamo spiegare come "lavorino" in termini umani. Se la creatività permea il loro design, non è perché gli umani lo mettono lì. Un modo per capirlo è che anche le piccole macchine di Turing possono codificare profondi problemi matematici. Prendi la congettura di Goldbach, secondo cui ogni numero pari o superiore a 4 è una somma di due numeri primi: 10 = 7 + 3, 18 = 13 + 5. La congettura ha resistito alle prove dal 1742. Eppure potremmo progettare una macchina di Turing con, oh, diciamo 100 regole, che verifica ogni numero pari per vedere se è una somma di due numeri primi e si ferma quando e se trova un controesempio al congetturare. Quindi, conoscendo BB (100), potremmo in linea di principio eseguire questa macchina per i passi BB (100), decidere se si ferma e quindi risolvere la congettura di Goldbach.

Aaronson, Scott. "Chi può nominare il numero più grande?" Chi può nominare il numero più grande? Np, nd Web. 25 novembre 2016.

Mi sembra che l'autore stia suggerendo che possiamo provare o confutare la congettura di Goldbach, un'affermazione su infiniti numeri, in un numero finito di calcoli. Mi sto perdendo qualcosa?

L'affermazione riguarda un numero infinito di numeri, ma la sua dimostrazione (o confutazione) dovrebbe essere un esercizio finito. Se possibile.

La sorpresa potrebbe venire dal (falso) presupposto che trovare BB (100) sarebbe un problema "teoricamente più semplice", reso impossibile solo per motivi pratici - dal momento che ci sono così tante macchine e possono funzionare per così tanto tempo prima di fermarsi , se non altro - dopo tutto, sono solo macchine ...

La verità è che scoprire BB (n), per n abbastanza grande, deve essere un compito insormontabile, sia per ragioni teoriche che pratiche.

L'idea dell'autore era che puoi scrivere un programma su 100 righe (qualsiasi numero finito fisso qui) che fa quanto segue: prende il numero x, verifica la congettura. Se non è vero, fermati altrimenti continua con il numero successivo.

Conoscendo il numero di castori occupato è possibile simulare questa macchina per quel numero di passaggi e quindi decidere se si ferma o meno. Dall'alto, se si ferma - la congettura non è vera, se non si ferma - la congettura è vera.

Aaronson ha recentemente ampliato in dettaglio questa riflessione / idea qui lavorando con Yedidia. [1] trovano una macchina a stati espliciti 4888 per la congettura di Goldbach. puoi leggere il documento per vedere come è stato costruito. Le TM sono costruite raramente, ma quelle che sono state tendenzialmente simili a un compilatore basate su linguaggi di alto livello e i compilatori aggiungono molti stati. una TM "costruita a mano" potrebbe facilmente utilizzare un numero di stati inferiore all'ordine di grandezza, ad esempio tra i 100 o meno di 100. in altre parole, in questo documento non c'è stato davvero un tentativo di cercare di ridurre al minimo il numero di stati . l'idea generale è solida e gli informatici non sono generalmente così preoccupati per le costanti esatte rispetto al lavoro applicato.

questa teoria generale è delineata dai Caludi (citati anche da [1]) in due eccellenti lavori che espongono alcuni dei teoremi del folklore lungo in quest'area e che è stato notato da altri autori (ad esempio Michel). [2] [ 3] praticamente qualsiasi problema matematico aperto può essere convertito in problemi indecidibili. questo perché la maggior parte dei problemi matematici comporta la ricerca in un numero infinito di casi di controesempi e controesempi sono verificabili algoritmicamente (ma forse in modo inefficiente o che richiedono TM di grandi dimensioni ecc.).

inoltre, le TM "molto piccole" (conteggiate in # di stati) possono verificare / essere equivalenti a problemi matematici molto complessi. ad esempio, una stima approssimativa per una TM per risolvere la congettura di collatz sarebbe qualche decina di stati.

quindi esiste un'interessante connessione / analogia tra indecidibilità e completezza NP. NP è la classe di problemi verificabili in modo efficiente, cioè le istanze possono essere verificate in P time. problemi indecidibili sono la classe di tutti i problemi che consentono il controllo algoritmico per controesempi senza limiti di efficienza.

ecco un modo di base per capire la connessione con il problema del castoro occupato. tutti i problemi indecidibili sono equivalenti a causa della calcolabilità / equivalenza di Turing. proprio come tutti i problemi NP completi possono essere convertiti l'uno con l'altro in P time (riduzioni), tutti i problemi indecidibili sono equivalenti a causa della completezza di Turing e riduzioni calcolabili (che possono richiedere tempo arbitrario). quindi il problema del castoro indaffarato è in questo senso equivalente al problema dell'arresto, e se si potesse risolvere il castoro indaffarato, allora si potrebbero risolvere tutte le domande matematiche aperte.

[1] Una TM relativamente piccola il cui comportamento è indipendente dalla teoria degli insiemi / Yedidia, Aaronson

[2] Valutazione della complessità dei problemi matematici: parte 1 / Calude

[3] Valutazione della complessità dei problemi matematici: parte 2 / Calude

1. La congettura di Goldbach può essere falsificata (se effettivamente falsa) da un tale programma TM; non può essere dimostrato corretto in questo modo (un matematico perspicace, tuttavia, potrebbe farlo).

2. Conoscere BB (27) consentirebbe di interrompere la ricerca di Goldbach ad un certo punto; tuttavia BB (27) (o Omega di Chaitin (27)) in precedenza richiederà di sapere se il Goldbach TM alla fine si ferma o no.

È pertanto fuorviante affermare che "BB (27) include la risposta a Goldbach". Anche se lo fa, più al punto è: "Goldbach (e molti molti altri) sono prerequisiti per il numero BB (27)", in altre parole non esiste una "funzione BB" che si sfida a 27. esegui solo tutte le macchine a 27 stati, inkl. Goldbach, e solo dopo il fatto vedere BB (27). E, da un POV pratico, anche BB (6) sembra sfuggente.

Penso che sia meno misterioso se riaffermiamo il punto di Aaronson in termini di prove:

$C$$C$$C$$C$

$C$$C$$n$$BB(n)$$C = O(BB(n))$