Complessità della prova di una prova o eliminazione di P = NP


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C'è stata qualche ricerca sulla complessità della prova di una risoluzione al problema P = NP? In caso contrario, data la mancanza di progressi sul problema, sarebbe irragionevole congetturare che qualsiasi prova che risolva il problema P = NP richiederebbe un numero super-polinomiale di passaggi?


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Forse non capisco la tua domanda, ma qualsiasi risoluzione a P vs NP sarebbe una prova di dimensioni costanti, sì?
Kurt Mueller,

@Kurt Muller. La dimostrazione richiederà un numero super-polinomiale di passaggi in base al numero di simboli necessari per codificare il problema P = NP.
Tony Johnson,

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@TonyJohnson Il superpolinomio in una costante è ancora una costante.
David Richerby,

Risposte:


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È noto che qualsiasi prova di limiti inferiori del circuito superpolinomiale (che sono dichiarazioni leggermente più forti di ) richiedono prove super polinomiali, anche esponenziali, in sistemi a prova debole come la risoluzione. Generalizzare questo a sistemi di prova più forti è un problema aperto ben noto.PNP

Vedi la sezione 5 di questo sondaggio di A. Razborov dove sono mostrate queste cose.


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La complessità della prova ha senso solo quando esiste una sequenza di istruzioni che dipende da un parametro . Ad esempio, la proposizione P H P n afferma (informalmente) che non vi è alcuna biiezione [ n + 1 ] [ nnPHPn . Questa sequenza di proposizioni è difficile per alcuni sistemi di prova proposizionale.[n+1][n]

L'istruzione è un'istruzione singola, quindi non è possibile applicare direttamente la complessità della prova. Tuttavia, la seguente sequenza di istruzioni ha senso, per particolari funzioni s ( n ) : "non esiste un circuito di dimensione s ( n ) che risolva correttamente SAT per istanze di lunghezza n ". Questo è stato preso in considerazione in letteratura, ad esempio da Razborov (che ha considerato l'impostazione di una complessità uniforme di prova, cioè l'aritmetica limitata).PNPs(n)s(n)n


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Abbiamo 3 casi:

  • Esiste una prova che . Poi c'è un algoritmo che risolve il problema "Emetti una prova che P = N P " che gira in O ( 1 ) tempo. Codifica la prova nella stessa Turing Machine e la emette. Funziona allo stesso tempo, indipendentemente dal suo input.P=NPP=NPO(1)

  • Allo stesso modo, se esiste una prova che , allora possiamo scrivere un algoritmo che emette questa prova in tempo O ( 1 ) .PNPO(1)

  • Se non esiste alcuna prova di entrambi i casi, la complessità minima di trovare una prova per entrambi è : nessuna Macchina di Turing può mai fermare ed emettere una prova di entrambi, poiché non esistono prove del genere.O()

Solo perché non abbiamo trovato alcuna prova non significa che non esiste e le classi di complessità sono definite in termini di ciò che esiste.

Più precisamente, non possiamo sapere con precisione quanto sia difficile trovare una prova di o il contrario fino a quando non conosciamo il risultato, che tipo di sconfigge il punto.P=NP

Quello che sappiamo è che, in generale, il problema di "Prendere una dichiarazione nella logica del predicato e determinare se esiste una prova per questo" è indecidibile. Quindi non ci sono procedure generiche per la generazione di prove in cui possiamo collegare P vs NP, che sono garantite per produrre un risultato.


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Se P = NP, tutto ciò che devi fare è creare un algoritmo temporale polinomiale per risolvere qualche problema NP-completo e dimostrare che è effettivamente polinomiale (che potrebbe essere difficile, ad esempio l'algoritmo Simplex di solito funziona molto velocemente ma provando che corre veloce sembra incredibilmente difficile).

n100


P=?NP? "
David Richerby il

C'è anche il risultato (improbabile ma del tutto possibile) che P = NP ma non esiste un algoritmo di tempo polinomiale dimostrabile in modo uniforme per esempio SAT.
Steven Stadnicki,
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