Complessità della prova di una prova o eliminazione di P = NP

C'è stata qualche ricerca sulla complessità della prova di una risoluzione al problema P = NP? In caso contrario, data la mancanza di progressi sul problema, sarebbe irragionevole congetturare che qualsiasi prova che risolva il problema P = NP richiederebbe un numero super-polinomiale di passaggi?

È noto che qualsiasi prova di limiti inferiori del circuito superpolinomiale (che sono dichiarazioni leggermente più forti di ) richiedono prove super polinomiali, anche esponenziali, in sistemi a prova debole come la risoluzione. Generalizzare questo a sistemi di prova più forti è un problema aperto ben noto.$P\neq NP$

Vedi la sezione 5 di questo sondaggio di A. Razborov dove sono mostrate queste cose.

La complessità della prova ha senso solo quando esiste una sequenza di istruzioni che dipende da un parametro . Ad esempio, la proposizione P H P n afferma (informalmente) che non vi è alcuna biiezione [ n + 1 ] → [ $n$$\mathsf{PHP}_n$ . Questa sequenza di proposizioni è difficile per alcuni sistemi di prova proposizionale.$[n+1] \to [n]$

L'istruzione è un'istruzione singola, quindi non è possibile applicare direttamente la complessità della prova. Tuttavia, la seguente sequenza di istruzioni ha senso, per particolari funzioni s ( n ) : "non esiste un circuito di dimensione s ( n ) che risolva correttamente SAT per istanze di lunghezza n ". Questo è stato preso in considerazione in letteratura, ad esempio da Razborov (che ha considerato l'impostazione di una complessità uniforme di prova, cioè l'aritmetica limitata).$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$s(n)$$s(n)$$n$

Abbiamo 3 casi:

• Esiste una prova che . Poi c'è un algoritmo che risolve il problema "Emetti una prova che P = N P " che gira in O ( 1 ) tempo. Codifica la prova nella stessa Turing Machine e la emette. Funziona allo stesso tempo, indipendentemente dal suo input.$P = NP$$P=NP$$O(1)$

• Allo stesso modo, se esiste una prova che , allora possiamo scrivere un algoritmo che emette questa prova in tempo O ( 1 ) .$P\neq NP$$O(1)$

• Se non esiste alcuna prova di entrambi i casi, la complessità minima di trovare una prova per entrambi è : nessuna Macchina di Turing può mai fermare ed emettere una prova di entrambi, poiché non esistono prove del genere.$O(\infty)$

Solo perché non abbiamo trovato alcuna prova non significa che non esiste e le classi di complessità sono definite in termini di ciò che esiste.

Più precisamente, non possiamo sapere con precisione quanto sia difficile trovare una prova di o il contrario fino a quando non conosciamo il risultato, che tipo di sconfigge il punto.$P=NP$

Quello che sappiamo è che, in generale, il problema di "Prendere una dichiarazione nella logica del predicato e determinare se esiste una prova per questo" è indecidibile. Quindi non ci sono procedure generiche per la generazione di prove in cui possiamo collegare P vs NP, che sono garantite per produrre un risultato.

Se P = NP, tutto ciò che devi fare è creare un algoritmo temporale polinomiale per risolvere qualche problema NP-completo e dimostrare che è effettivamente polinomiale (che potrebbe essere difficile, ad esempio l'algoritmo Simplex di solito funziona molto velocemente ma provando che corre veloce sembra incredibilmente difficile).

$n^{100}$