Che cos'è una "contraddizione" nella logica costruttiva?

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In Basi pratiche per i linguaggi di programmazione , afferma Robert Harper

Se una proposizione è vera significa averne una prova, cosa significa che una proposizione è falsa? Significa che ne abbiamo una confutazione , dimostrando che non può essere provato. Cioè, una proposizione è falsa se possiamo dimostrare che l'assunto che è vera (ha una prova) contraddice fatti noti.

Ma allora, ciò pone la domanda: che cos'è una contraddizione nella logica costruttiva / intuizionista?

Questo significa in qualche modo derivare ? Come sarebbe potuto succedere in modo sensato? essere introdotto un giudizio del modulo ? $(\bot\text{ true})$ $(A \supset \bot \text{ true})$

In alternativa, è forse inteso nel senso in cui il lettore usa la propria discrezione per etichettare informalmente qualcosa di contraddittorio? Ad esempio, interpretando e come proposizioni contrastanti. $a = b$ $a \neq b$

logic

— AFSMI
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È irrilevante se parliamo di logica costruttiva o classica in questa situazione. Se rileggi di nuovo le tue domande, vedrai che si applicano a entrambi i tipi. L'unica differenza che abbiamo bisogno di prendere atto è la presentazione di negazione . Può essere presentato in molti modi in modo classico, ma intuitivamente è meglio usarlo come abbreviazione di (che è esattamente ciò che Bob Harper sta suggerendo nel paragrafo citato). Ma non confondiamo negazioni e contraddizioni. $\lnot A$ $A \Rightarrow \bot$

In entrambi i casi, una contraddizione è una situazione in cui siamo riusciti a dimostrare falsità $\bot$ . Come potremmo derivare in modo ragionevole? Bene, da una serie incoerente di ipotesi, sarebbe un modo sensato per farlo. $\bot$

Non hai la discrezione di "dichiarare" una contraddizione. È necessario dimostrare che una determinata serie di ipotesi è contraddittoria derivando . Ad esempio, se e allora possiamo usare il fatto che è un'abbreviazione di e conclude con modus ponens. $\bot$ $a = b$ $\lnot (a = b)$ $\lnot (a = b)$ $(a = b) \Rightarrow \bot$ $\bot$

— Andrej Bauer
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Ho letto di nuovo e sembra meglio, ora. :-) Penso di essermi bloccato nella testa che hai digitato "ad alta voce", quindi non sono riuscito a trovare nient'altro.

— David Richerby,

Ora, questa è una grande idea, leggendo ad alta voce domande di scambio di stack!

— Andrej Bauer il

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Una contraddizione è di solito rappresentato come . È tipico nella logica intuizionistica definire come . E 'chiaro che possiamo ricavare da . Alla fine, una contraddizione sarà un'ipotetica derivazione di come suggerisce la definizione stessa di . Sarà ipotetico perché altrimenti la tua logica è incoerente. $A \land \lnot A$ $\lnot A$ $A \Rightarrow \bot$ $\bot$ $A \land \lnot A$ $\bot$ $\lnot$

Il punto che Harper sta facendo è che provare qualcosa è avere una prova e confutare qualcosa è avere una prova che implica . Tuttavia, si può essere facilmente nella situazione che si può (meta-logicamente) dimostrare che siete in grado di fornire sia una prova o di confutazione. In una tale situazione, la proposizione non è né costruttivamente vera né falsa. $\bot$

Un modo per comprendere la logica classica e contrastarla con quanto sopra è il seguente (essenzialmente l'interpretazione della doppia negazione di Kolmogorov): diciamo che una proposizione è falsa se implica una contraddizione, cioè implica . Una proposizione è vera se possiamo dimostrare che non può essere contraddetta, cioè possiamo dimostrare che assumere che sia falsa porta a una contraddizione. Nei simboli, è falso in questo senso se , come al solito. è vero in questo senso se , ovvero $\bot$ $A$ $A \Rightarrow \bot$ $A$ $\lnot A \Rightarrow \bot$ $\lnot \lnot A$ è dimostrabile. Puoi dimostrare che la Legge del Medio Escluso vale in modo costruttivo se interpretiamo "vero" e "falso" in questo senso. Cioè, puoi provare che è costruttivo. Più compatto, è possibile mostrare . Con questa nozione di "vero" e "falso", possiamo dire che una proposizione è vera se possiamo dimostrare che non esiste alcuna confutazione. Al contrario, costruttivamente una proposizione può non essere costruttivamente vera anche se possiamo dimostrare all'interno del sistema che non può esistere alcuna confutazione. $\lnot \lnot (\lnot \lnot A \lor \lnot A)$ $\lnot \lnot \lnot A \Rightarrow \lnot A$

— Derek Elkins ha lasciato SE
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