C'è qualche problema non banale nella teoria degli algoritmi seriali con un limite inferiore polinomiale non banale di ?

Nella teoria degli algoritmi distribuiti, ci sono problemi con limiti inferiori, come , che sono "grandi" (intendo, più grandi di ) e non banali. Mi chiedo se ci sono problemi con limiti simili nella teoria dell'algoritmo seriale, intendo ordine molto maggiore di . $\Omega(n^2)$ $\Omega(n\log n)$ $\Omega(n\log n)$

Con banale intendo "ottenuto solo considerando che dobbiamo leggere l'intero input" e similmente.

algorithms complexity-theory lower-bounds

— Immanuel Weihnachten
fonte

Stai chiedendo limiti inferiori per problemi o limiti inferiori per algoritmi specifici?

— A.Schulz,

@ A.Schulz Sto chiedendo limiti inferiori per problemi.

— Immanuel Weihnachten,

@RealzSlaw, giusto, ho modificato la domanda, ora con l'assunto standard che

n

$n$ è la dimensione dell'input; Ho anche specificato che con centralizzato intendevo "seriale", come ho visto qui en.wikipedia.org/wiki/Algorithm#By_implementation

— Immanuel Weihnachten

abbastanza interessante, non troviamo molta attenzione data a tali classi - come è stato fatto con il problema dell'ordinamento. La moltiplicazione della matrice è . Il problema del percorso più breve è - che probabilmente già conosci. Ma esiste una classe per questi algoritmi? Davvero non lo so. La somiglianza tra questi problemi è che ogni input (tra i ) dovrà fare un'azione con ogni altro input. Tale azione è almeno .

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

n

$n$

Ω (1)

$\Omega(1)$

— AJed

@RealzSlaw: sono d'accordo con te. Mi mancavano alcuni dettagli nella mia risposta. Ma capisci cosa voglio dire.

— AJed

Risposte:

Ci sono problemi di questo tipo dal teorema della gerarchia temporale. Basta prendere qualsiasi problema che è completo per una grande classe di complessità. Ad esempio, prendi un problema completo per . Tale problema sarà per tutti . $\mathsf{ExpTime}$ $\Omega(n^c)$ $c\in\mathbb{N}$

Tuttavia, nota anche che per problemi in , non ci sono limiti inferiori di tempo forte nel modello TM multi-nastro e l'esistenza di algoritmi di tempo lineari per SAT è coerente con lo stato attuale delle conoscenze. (Nel modello TM a nastro singolo non è difficile dimostrare che molti problemi come i palindromi richiedono un tempo di ma tali limiti inferiori dipendono essenzialmente dai dettagli del modello TM a nastro singolo.) $\mathsf{NP}$ $\Omega(n^2)$

— Kaveh
fonte

Alcuni semplici problemi che hanno limiti inferiori maggiori delle dimensioni dei loro input, sono algoritmi con dimensioni di output maggiori delle loro dimensioni di input.

Qualche esempio:

Il problema di elencare tutte le soluzioni a 3-SAT, o similmente, il problema di elencare tutti i cicli hamiltoniani . Entrambi questi problemi hanno un numero esponenziale di soluzioni nel caso peggiore. Quindi hanno un limite inferiore di . È interessante notare, tuttavia, che il problema 3-SAT in sé non ha limiti superlineari (maggiori di ) noti ! Ciò significa che non sappiamo se è più difficile di lineare! $\Omega (c^n),c>1$ $\Omega (n)$
Puoi persino creare nuovi algoritmi come questo: "completamento di un grafico", ovvero , dove e, l'algoritmo produrrà un grafico , dove . $G = V,E$ $E=\varnothing$ $n=|V|$ $G' = V,E'$ $E'=\left\{u,v|u\neq v\space\wedge\space u,v\in V \right\}$

Inoltre, potresti essere in grado di comporre un problema con output di dimensioni , con un problema che utilizza come input e output o persino output di dimensioni (ad esempio, qualcosa che conta il numero di output) per ottenere un problema che accetta input di dimensioni e output di dimensioni e che ha un tempo di esecuzione maggiore di . Tuttavia, potrebbe essere molto difficile provare (che non esiste un collegamento per ottenere la risposta in meno tempo). $\Omega (n^2)$ $\Omega (n^2)$ $\Omega (n)$ $\Omega (1)$ $\Omega(n)$ $\Omega (n)$ $\Omega (n)$

Un altro modo in cui alcuni problemi hanno conosciuto limiti inferiori è quello di limitare il modello di calcolo.

Sebbene il limite inferiore dell'ordinamento di confronto non superi , penso che valga la pena discuterne. L'ordinamento di confronto è anche un problema con un limite inferiore maggiore rispetto alla dimensione di input, ma il limite inferiore non supera e in. Tuttavia, mentre stavo studiando questo, ho trovato questa domanda su mathoverflow: la complessità del tempo super-lineare riduce i limiti per qualsiasi problema naturale in NP . Ulteriori esempi elencati nella risposta sono molto al di sotto di . Penso che il senso sia che, se si limita il modello di calcolo, è possibile ottenere limiti inferiori per problemi per i quali altrimenti non li abbiamo. E se non si limita il modello di calcolo, è molto difficile dimostrare limiti inferiori ai problemi. $\Omega (n\log n)$ $\Omega (n\log n)$ $\Omega (n\log n)$

— Realz Slaw
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C'è qualcosa che non capisco. La moltiplicazione lunga può essere fatta con meno di O (n ^ 2) secondo Wikipedia? Pertanto, è un limite inferiore.

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

— AJed

La moltiplicazione della matrice può essere eseguita con e questo limite è stato migliorato. Tuttavia, un limite inferiore naturale è .

O (n^{2} .8)

$O(n^2.8)$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

— AJed

@AJed non è un limite inferiore del problema , ma è un limite inferiore dell'algoritmo .

— Realz Slaw,

E ora ha modificato la sua domanda per affrontare il "problema" anziché l'algoritmo.

— Realz Slaw,

@RealzSlaw Mi scuso per non essere stato abbastanza preciso nel testo della mia domanda all'inizio.

— Immanuel Weihnachten,