Calcolo efficiente dell'intero più piccolo con n divisori

Per affrontare questo problema, l'ho osservato per la prima volta

$$\phi(p_1^{e_1} \space p_2^{e_2} \cdots \space p_k^{e_k}) = (e_1 + 1)(e_2 + 1)\cdots(e_k +1)$$

Dove $\phi(m)$ è il numero di divisori (non necessariamente primi) di $m$ . Se $m$ è il numero intero più piccolo in modo che $\phi(m) = n$ , allora

$$\phi(m) = n$$ $$(e_1 + 1)(e_2 + 1)\cdots(e_k +1) = n$$

Ora dobbiamo scegliere $e_i$ tale che $\prod_{i} p_i^{e_i}$ sia minimo. Le scelte per $p$ sono banali: sono solo i numeri primi in ordine crescente.

Tuttavia, il mio primo pensiero per la scelta $e_i$ non era corretto. Ho pensato che potresti semplicemente fattorizzare $n$ , ordinare i fattori in ordine decrescente e sottrarre 1. Il più delle volte questo funziona bene, ad es. Il numero intero più piccolo con $n = 15$ divisori è:

15 = ( 4 + 1 ) ( 2 + 1 ) m = 2 4 3 2 =

$$15 = 5 \cdot 3$$ $$15 = (4 + 1)(2 + 1)$$ $$m = 2^4 3^2 = 144$$

Ma questo non è corretto per :$n = 16$

16 = ( 1 + 1 ) ( 1 + 1 ) ( 1 + 1 ) ( 1 + 1 ) m = 2 1 3 1 5 1 7 1 =

$$16 = 2 \cdot 2\cdot 2 \cdot 2$$ $$16 = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)$$ $$m = 2^1 3^1 5^1 7^1 = 210$$

Considerando che la risposta corretta è:

m = 2 3 3 1 5 1 =

$$16 = (3 + 1)(1 + 1)(1 + 1)$$ $$m = 2^3 3^1 5^1 = 120$$

Quindi è chiaro a volte dobbiamo unire i fattori. In questo caso perché . Ma non vedo esattamente una strategia di fusione pulita e diretta. Ad esempio, si potrebbe pensare che dobbiamo sempre unirci al potere 2 , ma questo non è vero:$7^1 > 2^2$$2$

m = 2 96 3 1 5 1 7 1 11 1 > 2 96 3 3 5 1 7

$$1552 = (96 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)$$ $$m = 2^{96} 3^1 5^1 7^1 11^1 > 2^{96} 3^3 5^1 7^1$$

Non riesco a pensare immediatamente a un esempio, ma il mio istinto dice che alcuni approcci avidi possono fallire se prima uniscono i poteri sbagliati.

Esiste una semplice strategia ottimale per unire questi poteri per ottenere la risposta corretta?

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$n = 3072$

$$2^2 3^1 5^1 7^1 11^1 13^1 17^1 19^1 23^1 29^1 31^1$$

$$2^3 3^2 5^1 7^1 11^1 13^1 17^1 19^1 23^1 29^1$$

$$2^5 3^3 5^1 7^1 11^1 13^1 17^1 19^1 23^1$$

Tuttavia la soluzione ottimale è:

$$2^7 3^3 5^2 7^1 11^1 13^1 17^1 19^1$$

Ecco una soluzione, basata sui miei commenti sopra. Non sostengo che sia ottimale.

$T(n,m)$$n$$m$

$$\begin{align} T(n, 1) &= 2^{n-1}\\ T(2^m, m) &= p_1p_2\cdots p_m \end{align}$$

E abbiamo anche la ricorrenza:

$$\begin{equation} T(n,m) = \min_{d|n} [T\left(\frac{n}{d}, m-1\right)\cdot p_m^{d-1}] \end{equation}$$

Infine, la quantità che stai cercando è

$$\begin{equation} \min_{1\le i\le\lceil\log(n)\rceil} T(n, i) \end{equation}$$

A tal fine, ecco un po 'di codice Python, che concorda con tutti i numeri che hai dato sopra. Nota che funziona con i logaritmi per mantenere i numeri più piccoli: quindi l'intero numero effettivo che cerchi è round(2**smallest(n)).

import functools
import itertools
import math

# All primes less than 100.
PRIMES = [
  2, 3, 5, 7, 11,
  13, 17, 19, 23, 29,
  31, 37, 41, 43, 47,
  53, 59, 61, 67, 71,
  73, 79, 83, 89, 97,
]

LOG_PRIMES = [math.log2(p) for p in PRIMES]

def smallest(n):
  max_factors = math.ceil(math.log2(n))
  min_so_far = float('Infinity')
  factors = factorize(n)
  memo = {}
  for i in range(1, max_factors+1):
    t = T(n,i, factors, memo)
    if 0.0 < t < min_so_far:
      min_so_far = t
  return min_so_far

def T(n, m, factors=None, memo=None):
  if memo is None:
    memo = {}
  if n < 2 or m < 1:
    return 0
  elif m == 1:
    # Everything on the smallest prime.
    return (n-1) * LOG_PRIMES[0]
  elif n < 2**m:
    return 0
  elif n == 2**m:
    # Product of first m primes, in log.
    return sum(LOG_PRIMES[:m])
  elif (n,m) in memo:
    return memo[(n,m)]

  if factors is None:
    factors = factorize(n)
  if len(factors) < m:
    return 0

  smallest = float('Infinity')  
  for factor_list in powerset(factors):
    divisor = product(factor_list)
    first = T(divisor, m-1, factor_list, memo)
    # No such product.
    if first < 1.0:
      continue
    second = (n/divisor - 1) * LOG_PRIMES[m-1]
    total = first + second
    if total < smallest:
      smallest = total

  memo[(n,m)] = smallest
  return smallest

def product(nums):
  return functools.reduce(lambda x,y: x*y, nums, 1)

def factorize(n):
  prime_factors = []
  for p in PRIMES:
    while n%p == 0:
      n //= p
      prime_factors.append(p)
    if n == 1:
      break
  return prime_factors

def powerset(lst):
  # No empty set.
  return itertools.chain.from_iterable(itertools.combinations(lst, r) 
                                       for r in range(1, len(lst)+1))

I possibili candidati per "numero intero più piccolo con n divisori" sono i numeri interi della forma dove a ≥ b ≥ c ... e (a + 1) (b + 1) (c + 1) ... = n.$2^a·3^b·5^c...$

Quindi devi trovare tutti i modi per esprimere n come prodotto di numeri interi ≥ 2 in ordine non crescente, e calcolare e controllare i candidati corrispondenti. Ad esempio, quando n = 16, 16 = 8 · 2 = 4 · 4 = 4 · 2 · 2 = 2 · 2 · 2 · 2, le possibilità sono , , , e il più piccolo è .$2^7·3$$2^3·3^3$$2^3·3·5$$2·3·5·7$$2^3·3·5 = 120$

Se n è il prodotto di due numeri primi p · q, p ≥ q, gli unici candidati sono e e quest'ultimo è sempre più piccolo .$2^{pq-1}$$2^{p-1}·3^{q-1}$

Puoi capire alcune condizioni quando potrebbe esserci un fattore per esempio, controllando se per alcuni prime x non è un fattore. Nell'esempio n = 16, esiste un fattore perché .$2^{ab-1}$$2^{ab-1} > 2^{a-1}·x^{b-1}$$2^3$$2^3 < 2·7$