Algoritmo per trovare tutti gli elenchi dei vicini a 2 hop in un grafico

Dato un grafico $G = (V,E)$ , dove $|V| = n$ . Che cos'è un algoritmo veloce per generare la raccolta di tutti gli elenchi di vicinato a 2 hop di tutti i nodi in $V$ .

Ingenuamente, puoi farlo dentro $O(n^3)$ . Con il potere delle matrici, puoi farlo con $O(n^{2.8})$ usando l'algoritmo Strassen. Puoi fare di meglio usando un altro algoritmo di moltiplicazione di matrici. Qualche metodo migliore? Qualche algoritmo di Las Vegas?

— AJed
fonte

Esiste un algoritmo deterministico O (n ^ 2).

— Mike G,

@MikeG come farlo?

— AJed

@MikeG ha trovato un meraviglioso algoritmo di moltiplicazione della matrice temporale quadratica che purtroppo è troppo piccolo per adattarsi a un commento di scambio di stack

— Sasho Nikolov,

@SashoNikolov Puoi fornire un riferimento?

— Raffaello

La domanda dipende davvero da quale sia la definizione precisa di un 2-hop. Se per 2-hop intendi il set

h p (v) = {u ∣ there is a path of length 2 between u and v},

$hp(v) = \{ u \mid \mbox{there is a path of length 2 between u and v}\},$ allora la risposta attuale è no, non puoi farlo più velocemente di

O (n^{ω})

$O(n^{\omega})$ dove

ω

$\omega$ è la solita costante associata alla complessità dell'esecuzione del prodotto matrice.

Perché? Per ogni vertice $v$ controlla se $v$ è adiacente al vertice in $hp(v).$ In questo caso, hai trovato un triangolo nel tuo grafico. Inoltre, il grafico è privo di triangoli se non trovi un vertice $v$ con questa proprietà.

L'algoritmo attualmente più noto per verificare se un grafico è privo di triangoli ha una complessità temporale $O(n^{\omega}).$

— Jernej
fonte

Interessante, hai un riferimento per il problema del riconoscimento senza triangoli. Esiste un limite inferiore provato per questo problema?

— AJed

No, non esiste un limite inferiore provato ma recentemente è stata trovata una connessione molto sorprendente. Se riesci a rilevare i triangoli più velocemente di

O (n^{ω})

$O(n^{\omega})$ quindi è possibile calcolare il prodotto matrice più velocemente di

O (n^{ω})

$O(n^{\omega})$ . Vedi l'articolo "Rilevamento del triangolo contro moltiplicazione di matrici: uno studio sulla riducibilità veramente subcubica" di Williams e Williams. Qui kam.mff.cuni.cz/~matousek/cla/tria-mmult.pdf

— Jernej il

Pulito, felice che mi abbia aiutato!

— Jernej,