Cosa c'è di sbagliato in questa prova condizionale di P = NP?

Di recente ho escogitato la seguente prova che L = P implica P = NP.

Supponiamo che L = P. Sia A un problema in NP. Secondo la definizione di verificatore di NP, ogni soluzione positiva ad A ha un testimone che può essere verificato in tempo polinomiale. Poiché P = L, la stessa soluzione può essere verificata nello spazio logaritmico. Pertanto NP = NL. Ma poi NL è contenuta in P, il che significa che NP è contenuta in P e quindi P = NP.

Dall'efficiente ipotesi di mercato, sospetto che questa prova sia errata. Non sono tuttavia in grado di determinare l'esatta natura dell'errore. Qualcuno può segnalarlo?

Supponiamo che L = P. Sia A un problema in NP. Secondo la definizione di verificatore di NP, ogni soluzione positiva ad A ha un testimone che può essere verificato in tempo polinomiale. Poiché P = L, la stessa soluzione può essere verificata nello spazio logaritmico. Pertanto NP = NL.

Non hai dimostrato che NP$\,=\,$NL . L'unico metodo che hai derivato per dimostrarlo$x\in A$, significa "indovinare" in modo non deterministico un testimone $y$e usa l'algoritmo deterministico dello spazio di log per verificarlo. Però,$y$stesso può essere polinomialmente lungo, mentre la tua macchina NL può solo indovinare logaritmicamente molti bit: la tua macchina NL non ha abbastanza spazio per memorizzare il testimone, quindi non hai un algoritmo NL .

Si noti inoltre che sappiamo già che testimoni NP problemi -Complete può essere verificata in una classe di complessità più piccolo di  L . Il teorema di Fagin afferma che NP è esattamente l'insieme di problemi che possono essere definiti nel frammento esistenziale della logica del secondo ordine. Ciò equivale a dire che è possibile verificare un testimone di lunghezza polinomiale usando la logica del primo ordine. FO è strettamente più debole di L , poiché la logica del primo ordine non è in grado di risolvere semplici problemi di spazio logico come dirti se la tua stringa testimone contiene un numero pari di $1$S.