Ogni stringa abbastanza grande ha ripetizioni?

Sia un insieme finito di caratteri di dimensioni fisse. Lascia che sia una stringa sopra . Diciamo che una sottostringa non vuota di è una ripetizione se per una stringa . $\Sigma$ $\alpha$ $\Sigma$ $\beta$ $\alpha$ $\beta = \gamma \gamma$ $\gamma$

Ora, la mia domanda è se vale quanto segue:

Per ogni , esiste qualche tale che per ogni stringa oltre di lunghezza almeno , contiene almeno una ripetizione. $\Sigma$ $n \in \mathbb{N}$ $\alpha$ $\Sigma$ $n$ $\alpha$

Ho controllato questo sull'alfabeto binario, e questo è abbastanza facile per quel caso, ma un alfabeto di dimensione 3 è già un po 'più difficile da controllare, e vorrei una prova per grammatiche arbitrariamente grandi.

Se la congettura di cui sopra è vera, allora posso (quasi) rimuovere la richiesta di inserire stringhe vuote nell'altra mia domanda .

combinatorics strings word-combinatorics

— Alex ten Brink
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No, sfortunatamente no. Ci sono anche infinite parole senza quadrati se il tuo alfabeto ha almeno tre simboli.

Questo bordo apparentemente naturale (gli alfabeti a due elementi hanno solo molte parole senza quadrati) è osservato in molti luoghi, ad esempio:

è co-finito per ma non privo di contesto per . $\{xyyz \mid x,y,z\in \Sigma^+\}$ $|\Sigma|\leq 2$ $\Sigma>2$
La classe di lingue generate da schemi senza terminali può essere appresa nel limite se ma non così se [ Reid2004 ]. $|\Sigma|>3$ $|\Sigma|=2$

— Raffaello
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Accidenti, è un peccato allora: S

— Alex ten Brink,