Come capire la riduzione dal problema del 3-Coloring al problema generale del -Coloring?

Il problema del 3-Coloring può essere dimostrato NP-Complete facendo uso della riduzione da 3SAT Graph Coloring (da 3SAT) . Di conseguenza, il problema 4-Coloring è NP-Complete usando la riduzione di 3-Coloring:

Riduzione dall'istanza 3-Coloring: aggiunta di un vertice extra al grafico del problema 3-Coloring e rendendolo adiacente a tutti i vertici originali.

Seguendo lo stesso ragionamento, si può dimostrare facilmente NP-Complete 5-Coloring, 6-Coloring e persino un problema generale di -Colororing. Tuttavia, il mio problema emerge con l'induzione matematica sottostante:$k$

Il mio problema: cosa succede se l'induzione passa al problema $n-1$ -Coloring e $n$ -Coloring, dove $n$ è il numero di vertici nel grafico? So sicuramente che il problema $n$ -Coloring può essere risolto in modo banale. Quindi, c'è qualcosa che non va nel ragionamento? Come capire la riduzione dal problema 3-Coloring a quello generale $k$ -Coloring?

Il problema -coloring è di solito definito solo per costante , quindi -coloring non ha senso. Per ogni costante , la riduzione menzionata funziona. Aggiungendo un numero supercomponente di vertici è possibile mostrare, ad esempio, che il è NP-completo.$k$$k$$n$$k \geq 3$$(n/2+3)$

La tua apparente contraddizione deriva dall'abuso della notazione " ": il suo significato cambia mentre ti muovi nella domanda.$n$

Quando dici che colore è banale, quello che vuoi dire in realtà è che è banale colorare qualsiasi grafico  concolori. Ma il problema della colorabilità per qualsiasi costante è il problema di determinare se un grafico di input arbitrario, con un numero qualsiasi di vertici, abbia una corretta colorazione .$n$$G$$|V(G)|$$n$ $n$$n$

La catena di riduzioni dalla colorabilità alla colorabilità aggiunge vertici al grafico. Ciò significa che l'unico modo in cui potresti finire con una banale istanza del problema della colorabilità è se l'input originale per il problema della colorabilità avesse  o meno vertici - tale istanza era già banalmente colorabile.$3$$n$$n-3$$n$$3$$3$$3$

A proposito, non è necessario usare l'induzione per dimostrare che la colorabilità è NP-completa per ogni  perché è facile comporre la sequenza di riduzioni che apparirebbero nell'induzione. Un grafico  è colorabile se, e solo se, il grafico  è colorabile, dove è l'unione disgiunta di e una copia di  , oltre a tutti i possibili bordi tra le due parti .$k$$k\geq 3$$G$$3$$G'$$k$$G'$$G$$K_{k-3}$

Il problema del colore è quello di colorare qualsiasi grafico. Puoi certamente trovare grafici per i quali -coloring è banale e formule per cui SAT è banale o ecc. Tuttavia, ciò non influisce sulla complessità dei problemi in generale.$k$$k$