Macchine ad accesso casuale con sola aggiunta, moltiplicazione, uguaglianza

La letteratura è abbastanza chiara che le RAM a costo unitario con moltiplicazione primitiva sono irragionevoli, in quanto

non può essere simulato dalle macchine di Turing in tempi polinomiali
in grado di risolvere i problemi completi di PSPACE in tempo polinomiale

Tuttavia, tutti i riferimenti che posso trovare su questo argomento (Simon 1974, Schonhage 1979) riguardano anche operazioni booleane, divisione di interi, ecc.

Esistono risultati per la "ragionevolezza" delle RAM che hanno solo addizione, moltiplicazione e uguaglianza? In altre parole, che non hanno operazioni booleane, divisione di interi troncata, sottrazione di tronchi, ecc.?

Si potrebbe pensare che tali RAM siano ancora abbastanza "irragionevoli". La principale bandiera rossa è che consentono la generazione di numeri interi esponenzialmente grandi nel tempo lineare e, a causa degli effetti di convoluzione della moltiplicazione, ciò può diventare particolarmente complesso. Tuttavia, in realtà non riesco a trovare alcun risultato che dimostri che ciò consente qualsiasi tipo di risultato "irragionevole" (accelerazione esponenziale della macchina di Turing, relazione irragionevole con PSPACE, ecc.).

La letteratura ha qualche risultato su questo argomento?

— Mike Battaglia
fonte

Yuval Filmus ha una breve nota che riassume come risolvere qualsiasi problema in NP (e penso qualsiasi problema in PSPACE?) In tempo polinomiale, usando RAM a costo unitario. Forse pubblicherà un link a questo e puoi rivedere i metodi lì per vedere se possono essere generalizzati per eliminare la necessità di divisione.

— DW

Riesci a pensare a un modo per calcolare il numero

, dove

è una piccola costante, nel tuo modello, usando il polinomio temporale in

? In altre parole, vogliamo calcolare

. Questo può essere fatto nel tempo polinomiale in

\sum_{i = 0}^{2^{n} - 1} 2^{c i}

$\sum_{i=0}^{2^n-1} 2^{ci}$

c

$c$

n, c

$n,c$

(2^{c 2^{n}} - 1) / (2^{c} - 1)

$(2^{c 2^n}-1)/(2^c-1)$

n

$n$

c

$c$ se consentiamo la divisione, ma può essere fatto senza divisione? Se è possibile, sospetto che risultati simili si applicheranno anche al tuo modello.

— DW

Sai dov'è questa nota? Ho visto la letteratura sulle RAM a costo unitario irragionevolmente potente quando sono consentite operazioni booleane e ha troncato la divisione (o lo spostamento), con le operazioni e i troncamenti booleani che hanno sostanzialmente trasformato il tutto in un enorme dispositivo parallelo. Ma, da qualche parte , dovrebbe esserci qualche risultato che mostri che anche solo la moltiplicazione del costo unitario è "irragionevole" senza le altre cose, perché come detto, è possibile calcolare rapidamente numeri con più cifre di quelle contenute nell'universo osservabile. Ma non riesco a trovare una prova di questo.

— Mike Battaglia,

@DW La mia nota mostra come risolvere tutti i problemi in PSPACE in tempo polinomiale. Sfortunatamente, è necessario utilizzare operatori bit a bit (AND bit a bit e OR; i due sono equivalenti). All'epoca ho pensato brevemente alla domanda che stai ponendo, ma non sono giunto a una conclusione. Puoi trovare tutto questo qui , anche se sembra che tu ne sia già a conoscenza.

— Yuval Filmus,

P \in PSPACE

$\text{P} \in \text{PSPACE}$

L'altro giorno stavo leggendo un documento su macchine ad accesso casuale parallelizzate senza operazioni di bit, che sembrava molto simile a quello che stai descrivendo. Per questi modelli NC è noto per non eguagliare P. Vedi qui: https://epubs.siam.org/doi/10.1137/S0097539794282930

L'articolo può anche essere trovato sul sito Web del professor Mulmuley.

— exfret
fonte